作业题解:14E=1,丑N∈N,s.t.当m,n>N时,有d(xn,xn)<1 特别当n>N时,有d(xn,x)<1.又n≤N时,d(xn,x)只有有限个值 故彐M>0,s.t.d(xn,x1)≤M.因此vn,m∈N,成立 d(xn,xn)≤d(xn,x1)+d(x,xn)≤mx2,1+M2M}所以x是 有界点列 15设是S中的柯西点列,x,=(1,2,,即vs>0 丑N∈N,s.t.Vm,n>N时,成立 <E 所以Ⅴk∈N,Vm,n>N时,成立 <2kE.因为v给a>0 对于每个固定的k,3E:0<E<⑦,然后由这个E,按不等式(*), 1+σ 丑N∈N.所以Vm,n>N时,对这个固定的k,成立 1+σ 所以-<a(mn>N).所以}是实(复)数集中的柯西点 列.而实(复)数集完备,所以收敛,设出→5(n→∞)记 x=(5152…),则xn→x.而x∈S,所以S完备 设{x是B(4)中的柯西点列,xn=fn(0),t∈A VE>0,丑N∈N,s.t.当m,n>N时,成立supf()-fm(t)<E.所以 Vm,n>N及t∈A,成立23 作业题解： 14  =1，N ，s.t.当 m,n  N 时，有 ( ) n m d x , x  1, 特别当 n  N 时，有 ( ) 1 , n N+ d x x  1. 又 n  N 时， ( ) 1 , n N+ d x x 只有有限个值 故 M  0,s.t. ( ) 1 , n N+ d x x  M . 因此 n,m   ，成立 ( ) n m d x , x  ( ) 1 , n N+ d x x + ( ) N m d x , x +1  max2,1+ M,2M. 所以    n n=1 x 是 有界点列. 15 设    n n=1 x 是 S 中的柯西点列， n x = ( ) ( ) ( , , ) 1 2 n n   . 即   0, N ， s.t.  m,n  N 时，成立 ( ) n m d x , x = ( ) ( )  ( ) ( )  = + − − 1 2 1 1 k m k n k m k n k k       (  ) 所以 k   ， m,n  N 时，成立 ( ) ( ) ( ) (m) k n k m k n k     + − − 1   k 2 . 因为  给   0， 对于每个固定的 k ，  ：0      2 1+ 1 k ，然后由这个  ，按不等式(  )， N . 所以  m,n  N 时，对这个固定的 k ，成立 ( ) ( ) ( ) (m) k n k m k n k     + − − 1    1+ . 所以 ( ) (m) k n  k −   ( m,n  N ). 所以    j=1  j 是实(复)数集中的柯西点 列. 而实(复)数集完备, 所以 ( )    n=1 n  k 收敛，设 (n )  k → k ( n → ). 记 x = ( , , )  1  2 ，则 x x n → . 而 x  S ，所以 S 完备. 设    n n=1 x 是 B(A) 中的柯西点列， n x = f (t) n ，t  A.   0，N ，s.t.当  m,n  N 时，成立 f (t) f (t) n m t A −  sup   . 所以  m,n  N 及 t  A ，成立