()-fm()< 因此在集A上,函数列()}=1收敛,设f()→f(0).由(*)式,令 m→>得n>N时,()-f()≤E.所以n>N时, f(sn(0)-fm0)+UfO≤E+M(由于Un()=收敛,从而M存在 所以f()∈B(4),又已证f()→f()所以B(4)是完备度量空间 第6次课 教学内容(或课题):柯西点列和完备度量气间(续) 目的要求:再次巩固上次课学习的概念与定理,进步掌握使用概 念及定理判别完备度量空间的常用方法 教学过程 ab是完备的度量空间 证明设xn,n=12…是Cb中的柯西点列VE>0, 丑N∈N,s.t.当Vm,n>N时,成立 max -xn(<8 所以v∈[ab,有()-x1()<E.于是当固定时,n(O)=2 是柯西数列由实(复)数集的完备性,3x(),s.t.xn()→x().往证 x()∈Cb,xn→x实因在(4)中令m→∞,得知n>N时,成立24 f (t) f (t) n − m   . (  ) 因此在集 A 上，函数列  ( )  n n=1 f t 收敛，设 f (t) n → f (t). 由(  )式，令 m→ 得 n  N 时， f (t) − f (t)   n . 所以 n  N 时， f (t)  f (t) f (t) n − m + f (t) n   + M (由于  ( )  n n=1 f t 收敛，从而 M 存在). 所以 f (t) B(A) ，又已证 f (t) n → f (t) 所以 B(A) 是完备度量空间. 第 6 次课 教学内容(或课题)： 柯西点列和完备度量空间(续) 目的要求： 再次巩固上次课学习的概念与定理，进一步掌握使用概 念及定理判别完备度量空间的常用方法. 教学过程： Ca,b 是完备的度量空间. 证明 设 n x ，n = 1,2,  是 Ca,b 中的柯西点列.   0， N ，s.t.当  m,n  N 时，成立 atb max x (t) x (t) m − n   . (4) 所以 t  a,b ，有 x (t) x (t) m − n   . 于是当 t 固定时，  ( )  n n=1 x t 是柯西数列.由实(复)数集的完备性，  x(t)，s.t. x (t) n → x(t). 往证 x(t)  Ca,b， n x → x 实因在(4)中令 m→ ，得知 n  N 时，成立