mxx()-x()≤E (5)所以x,()在b]上一致收 敛于x(0),从而x()∈C{ab由(5),当n>N时, d(xn,x)mx()-x().所以x,→x,故c是完备度量空间 令Pa表示区间b上实系数多项式全体Pa小作为Cb]的 子空间是不完备的度量空间.实因多项式列 26 在闭区间[b上一致收敛于连续的指数函数e2,但e非多项式即pb 不是Cab]的闭子空间由Th1,P[ab不是完备度量空间证毕 设X表示闭区间[1上连续函数全体,对∨x,y∈X,令 d(x, y=SEx()dt 易知(X,d)成为度量空间.实因 1°显然d(x,y)≥0.若t∈[]时,x()=y(),从而d(x,y)=0.反 之若d(xy)=0,即(0)-y)=.因(0)-y)≥0,故x0)=y()ae 于[],又因ae相等的连续函数必然处处相等,故x=y.总之d(xy)≥0 且d(x,y)=0x=y 29(xy)=C+0)-y(s0)=()+C()=y( 所以(X,d)是度量空间25 atb max x (t) x (t) n −   . (5)所以 x (t) n 在 a,b 上一致收 敛于 x(t) ，从而 x(t)  Ca,b. 由(5)，当 n  N 时， d(x x) n , = atb max x (t) x (t) n −   . 所以 n x → x ，故 Ca,b 是完备度量空间. 令 Pa,b 表示闭区间 a,b 上实系数多项式全体,Pa,b 作为 Ca,b 的 子空间是不完备的度量空间. 实因多项式列   =      + + + + + 1 2 3 2 6 ! 1 n n n x x x x  在闭区间 a,b 上一致收敛于连续的指数函数 x e ，但 x e 非多项式. 即 Pa,b 不是 Ca,b 的闭子空间. 由 Th 1， Pa,b 不是完备度量空间. 证毕. 设 X 表示闭区间 0,1 上连续函数全体，对 x, y  X ，令 d(x, y)= ( ) ( )  − 1 0 x t y t dt . 易知 (X,d) 成为度量空间. 实因 0 1 显然 d(x, y)  0. 若 t  0,1 时， x(t)  y(t) ，从而 d(x, y) =0. 反 之若 d(x, y) =0，即 ( ) ( )  − 1 0 x t y t dt =0. 因 x(t)− y(t)  0，故 x(t)= y(t) a.e. 于 0,1. 又因 a.e. 相等的连续函数必然处处相等，故 x = y . 总之 d(x, y)  0 且 d(x, y) =0  x = y . 0 2 d(x, y)= ( ) ( )  − 1 0 x t y t dt  ( ) ( )  − 1 0 x t z t dt + ( ) ( )  − 1 0 z t y t dt = d(x,z) + d(y,z). 所以 (X,d) 是度量空间