例5上面定义的度量空间(X,d)不完备 证明令x()={线性 <【<一 0 0<t≤ 先证{xn是(X,d)中的柯西点列实因vE>0,当 n>m>时,d(,x)=()-x()=( 1-xm(o)du 2、1)∠.所以点列比=是(x,d)中的柯西点列 再证点列{xn=在(X,d)中不收敛实因对每个x∈X, d(,x)0)=x(k=[x(k+0)-x(+ 上-x().若(x,x)→0,必有(=[-x(26 例 5 上面定义的度量空间 (X,d) 不完备. 证明 令 x (t) m =              + +   2 1 0, 0 1 2 1 2 1 , 1 2 1 1, 1 t m t t m 线性 先证    n n=1 x 是 (X,d) 中的柯西点列. 实因   0 ，当 n  m   1 时， ( ) n m d x , x = ( ) ( )  − 1 0 x t x t dt n m = ( ) ( )  + − m xn t xm t dt 1 2 1 2 1 =       − m n 1 1 2 1   m 1   . 所以点列    n n=1 x 是 (X,d) 中的柯西点列. 再证点列    n n=1 x 在 (X,d) 中不收敛. 实因对每个 x  X ， d(x x) n , = ( ) ( )  − 1 0 x t x t dt n = ( )  2 1 0 x t dt + ( ) ( )  + − m xn t x t dt 1 2 1 2 1 + ( )  + − 1 1 2 1 1 m x t dt . 若 d(x x) n , → 0, 必有 ( )  2 1 0 x t dt = ( )  − 1 2 1 1 x t dt =0