·1088· 工程科学学报，第41卷，第8期 即 性过程十分接近的非线性映射能力，相当于使用一 T=△T (5) 个网络结构模型对复杂非线性过程进行建模和辨 由于关节波动摩擦的生成机理没有完全清楚， 识，其中的B,9,,Y,便是模型的参数.神经网络 只知道它与关节转角和转速间存在非线性的函数关 建模的优点在于其建模过程只用到输入输出数据， 系，所以采用传统的建模+参数辨识的建模方法可 而不需要知道非线性过程的内在机制. 能行不通.本文借助BP神经网络的非线性拟合能 2.2BP神经网络建模波动摩擦力矩 力[)，依靠实验数据离线训练BP神经网络并使其 通过采集不同关节转角和转速下的波动摩擦力 满足式(4)函数的映射功能，由此完成对波动摩擦 矩数据，在离线情况下建立BP神经网络并进行训 力矩的建模 练，最后得到一个满足波动摩擦力矩映射关系的网 络模型. 2谐波减速器关节的波动摩擦力矩特性 根据式(4)，波动摩擦力矩映射的输入数据为 2.1BP神经网络 关节转角和转速[g9],目标输出数据为波动摩擦 BP神经网络是一种基于反向传播算法的多层 力矩T,因此，构建的神经网络对应的输入层有两 前向网络，它有一个输入层和一个输出层以及多个 个神经元，对应g和g,输出层有一个神经元，为波 隐含层.根据逼近理论，具有非线性传递函数的BP 动摩擦力矩的计算值T,通过机器人实验采集 神经网络，在隐含层神经元数量足够多的情况下，可 [q9T]三种数据序列，在离线环境下训练BP 以实现任意精度的非线性映射.对于只知道输入数 神经网络.通过计算T。和T的误差并反向传递， 据和输出数据的非线性过程和函数，可以利用BP 神经网络优秀的拟合能力，利用其输入输出数据进 依靠梯度下降法不断调整B,日，，Y,使得工。与T 的残差平法和不断减小，最终网络实现了与式(4) 行训练从而使得BP神经网络获得与该非线性过程 十分接近的映射功能，由此完成对波动摩擦力矩的 十分接近的映射功能 建模 对于一个n维输入m维输出的三层BP神经网 然而，由于神经网络的拟合能力有一定限制，如 络，其正向计算过程为： 果使用上述的建模方法将需要用到大量的神经元， 网络输人：X=(x1,x2,…,xn) 且拟合效果并不理想.其原因在于波动摩擦力矩与 输入层：a:=x,i=1,2,…,n 关节转角间的高频周期性对于神经网络而言属于高 中间层5=立A-9,j=1,2…P 度的非线性，具有非常高的拟合难度.本节解决方 i=1 b=F(s),j=1,2,…p 法是，先采用一个周期性函数对波动摩擦力矩进行 拟合，事先提炼出波动摩擦力矩中的周期性特性，再 输出层l=立4-1=1,2，m 结合该周期性拟合函数和神经网络，完成对波动摩 y=F2(l),t=1,2,…,m 擦力矩的建模.具体方法如下 网络输出：Y=(y1,y2,…,ym) 由前文的频谱分析可知，波动摩擦力矩与关节 其中，B,9,Y,为神经网络参数，它们的值在训练 转角q呈现两个频率的周期性关系，故可设计一个 过程中进行调整，X为网络输入向量，Y为网络输出 以g为自变量的二级傅里叶级数函数作为波动摩擦 向量，其余为神经网路的中间变量.F(·)和F2(·) 力矩的周期性拟合函数，即： 为中间层和输出层的传递函数.F,(·)一般为非线 F,(q）=ao+a1sin(09)+b1cos(wo9）+ 性函数，如sigmoid函数，F2(·)可以选择线性函数. azsin (2w0q)+b cos (2w0q) (6) F,(·)的非线性是实现BP神经网络非线性映射的 式中，ao为偏置，a1,a2,b1,b2为各项幅值，w。为基 基础。在网络神经元个数确定的情况下，不同的B, 础角速度.具体情况下可以采用一种较低转速下的 ,,Y,值确定了网络不同的输入输出映射.BP神 波动摩擦力矩曲线数据，并用式(6)进行拟合，从而 经网络采用误差反向传播来调整B,日，y2,Y,的值， 得到式(6)中各参数的具体值. 网络训练的过程相当于不断调整B,0,,Y,的值 设计BP神经网络，网络的输入层有三个神经 使得网络的输出越来越接近训练数据中的目标输出 元，对应的输入为[99F,(q)],输出层有一个神 数据.若将一个复杂非线性过程的输入输出数据用 经元，对应为波动摩擦力矩的计算值T.神经网络 于训练BP网络，训练完成的网络将拥有与该非线 增加了F,(q)作为辅助输入，F,(q)可以协助神经工程科学学报,第 41 卷,第 8 期 即 Tb = 驻T (5) 由于关节波动摩擦的生成机理没有完全清楚, 只知道它与关节转角和转速间存在非线性的函数关 系,所以采用传统的建模 + 参数辨识的建模方法可 能行不通. 本文借助 BP 神经网络的非线性拟合能 力[17] ,依靠实验数据离线训练 BP 神经网络并使其 满足式(4)函数的映射功能,由此完成对波动摩擦 力矩的建模. 2 谐波减速器关节的波动摩擦力矩特性 2郾 1 BP 神经网络 BP 神经网络是一种基于反向传播算法的多层 前向网络,它有一个输入层和一个输出层以及多个 隐含层. 根据逼近理论,具有非线性传递函数的 BP 神经网络,在隐含层神经元数量足够多的情况下,可 以实现任意精度的非线性映射. 对于只知道输入数 据和输出数据的非线性过程和函数,可以利用 BP 神经网络优秀的拟合能力,利用其输入输出数据进 行训练从而使得 BP 神经网络获得与该非线性过程 十分接近的映射功能. 对于一个 n 维输入 m 维输出的三层 BP 神经网 络,其正向计算过程为: 网络输入:X = (x1 ,x2 ,…,xn ) 输入层:ai = xi,i = 1,2,…,n 中间层:sj = 移 n i = 1 茁ijai - 兹j, j = 1,2,…,p bj = F1 (sj), j = 1,2,…,p 输出层:l t = 移 p j = 1 vjt bj - 酌t, t = 1,2,…,m yt = F2 (l t), t = 1,2,…,m 网络输出:Y = (y1 ,y2 ,…,ym ) 其中,茁ij,兹j,vjt,酌t 为神经网络参数,它们的值在训练 过程中进行调整,X 为网络输入向量,Y 为网络输出 向量,其余为神经网路的中间变量. F1 (·)和 F2 (·) 为中间层和输出层的传递函数. F1 (·)一般为非线 性函数,如 sigmoid 函数,F2 (·)可以选择线性函数. F1 (·)的非线性是实现 BP 神经网络非线性映射的 基础. 在网络神经元个数确定的情况下,不同的 茁ij, 兹j,vjt,酌t 值确定了网络不同的输入输出映射. BP 神 经网络采用误差反向传播来调整 茁ij,兹j,vjt,酌t 的值, 网络训练的过程相当于不断调整 茁ij,兹j,vjt,酌t 的值 使得网络的输出越来越接近训练数据中的目标输出 数据. 若将一个复杂非线性过程的输入输出数据用 于训练 BP 网络,训练完成的网络将拥有与该非线 性过程十分接近的非线性映射能力,相当于使用一 个网络结构模型对复杂非线性过程进行建模和辨 识,其中的 茁ij,兹j,vjt,酌t 便是模型的参数. 神经网络 建模的优点在于其建模过程只用到输入输出数据, 而不需要知道非线性过程的内在机制. 2郾 2 BP 神经网络建模波动摩擦力矩 通过采集不同关节转角和转速下的波动摩擦力 矩数据,在离线情况下建立 BP 神经网络并进行训 练,最后得到一个满足波动摩擦力矩映射关系的网 络模型. 根据式(4),波动摩擦力矩映射的输入数据为 关节转角和转速[q q ·],目标输出数据为波动摩擦 力矩 Tb ,因此,构建的神经网络对应的输入层有两 个神经元,对应 q 和 q · ,输出层有一个神经元,为波 动摩擦力矩的计算值 ^Tb . 通过机器人实验采集 [q q · Tb ]三种数据序列,在离线环境下训练 BP 神经网络. 通过计算 ^Tb 和 Tb 的误差并反向传递, 依靠梯度下降法不断调整 茁ij,兹j,vjt,酌t 使得 ^Tb 与 Tb 的残差平法和不断减小,最终网络实现了与式(4) 十分接近的映射功能,由此完成对波动摩擦力矩的 建模. 然而,由于神经网络的拟合能力有一定限制,如 果使用上述的建模方法将需要用到大量的神经元, 且拟合效果并不理想. 其原因在于波动摩擦力矩与 关节转角间的高频周期性对于神经网络而言属于高 度的非线性,具有非常高的拟合难度. 本节解决方 法是,先采用一个周期性函数对波动摩擦力矩进行 拟合,事先提炼出波动摩擦力矩中的周期性特性,再 结合该周期性拟合函数和神经网络,完成对波动摩 擦力矩的建模. 具体方法如下. 由前文的频谱分析可知,波动摩擦力矩与关节 转角 q 呈现两个频率的周期性关系,故可设计一个 以 q 为自变量的二级傅里叶级数函数作为波动摩擦 力矩的周期性拟合函数,即: Fp (q) = a0 + a1 sin (w0 q) + b1 cos (w0 q) + a2 sin (2w0 q) + b1 cos (2w0 q) (6) 式中,a0 为偏置,a1 ,a2 ,b1 ,b2 为各项幅值,w0 为基 础角速度. 具体情况下可以采用一种较低转速下的 波动摩擦力矩曲线数据,并用式(6)进行拟合,从而 得到式(6)中各参数的具体值. 设计 BP 神经网络,网络的输入层有三个神经 元,对应的输入为[q q · Fp (q)],输出层有一个神 经元,对应为波动摩擦力矩的计算值 ^Tb . 神经网络 增加了 Fp ( q)作为辅助输入,Fp ( q) 可以协助神经 ·1088·