5、频率分布函数的 Debye近似 相应的 Delve频率为c=v9D ·弹性波:即频率与波失成线性关系 献都可被忽略,相应的 Delve温度为。的贡 高于 Debvet频率的振动难以激发,对比 各向同性:即纵波、横波波遠都相同 ·因各向同性,积分可用球形区城积分代替 度可以这样得到:将在q空间,球亮 ·积分限?D模型的局限,波长短时,弹性波? 之间的振动方式转换成在频率a 在半径为q的球内,D波失,D频率,D温度 之间的振动方式(计及三种弹性波) 选抨q使N个波矢在这个球形区城内 考虑到高 h212)体学日单位体积原子数 以被漠发 是 对求c”到4 ·作变量变换x 得 krp°oxr 愿考;一維、二簞的Dbye模型的频亭分布画敷? r 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 并利用积分关系(已假定在极低温度下,可将 积分上限取为无穷大) ·用 Delve近似和 Einstein近似得到的比热与温度 的关系,引自J. de launay, Solid State Physies, Vol2, Academic Press, New York, 1956. 确定 Delve频率 h plodder=3N3N-f° 31 1 3/ OD hops/6Nrin'ne ·得到平均能量与T成正比,比热与成正比 很明显, Einstein温度一比热关系在极低温度 时,过快地趋于零,而 Delve关系较好 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 5、频率分布函数的Debye近似 • 弹性波：即频率与波矢成线性关系 • 各向同性：即纵波、横波波速都相同 ( ) q v q ω = p • 因各向同性，积分可用球形区域积分代替 ( ) 3 3 3 2 4 N qD V π π = ( )1 3 2 6 / q n D = π • 选择qD使N个波矢在这个球形区域内 n：单位体积原子数 • 积分限？ D模型的局限，波长短时，弹性波？ • 在半径为qD的球内，D波矢，D频率，D温度 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 • 频率密度可以这样得到：将在q空间，球壳 q~q+dq之间的振动方式转换成在频率ω~ ω+dω之间的振动方式（计及三种弹性波） • 相应的Debye频率为 D p D ω = v q ( ) ω ρ( ) ω ω ω π π π d d v V q dq V p = = 3 2 2 2 3 2 3 4 2 3 • 高于Debye频率的振动难以激发，对比热的贡 献都可被忽略，相应的Debye温度为 B p D B D D k v q k h h Θ = = ω ( ) θ ( ) ω ω ω π ρ ω = Debye − 3 2 Debye 2 2 3 p v V 考虑到高 频振动难 以被激发 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 ω ω D ρ D ( ) ω 思考：一维、二维的Debye模型的频率分布函数？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 • 作变量变换 • 于是 ∫ − = D kBT p e d v V U ω ω ω ω π 0 / 3 2 3 2 1 3 h h ( ) ∫ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = D B B k T k T B B p V e e d k T k v V C ω ω ω ω ω ω π 0 2 / / 2 2 2 3 2 1 3 h h h ∫ − = D 0 3 3 4 4 B 2 3 2 1 3 ω π x p e k T x dx v V U h ∫ − = D 0 4 3 4 3 B 2 3 2 1 3 ω π x x p V e k T e x dx v V C h • 得 k T x B hω = • 对T求导 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 • 并利用积分关系（已假定在极低温度下，可将 积分上限取为无穷大） ∫ ∑ ∞ ∞ = = = 0 − 1 4 4 3 15 1 6 1 n x e n x dx π • 得到平均能量与T4成正比，比热与T3成正比 3 4 4 5 3 D NkBT U Θ = π 3 4 5 12 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Θ = D B V Nk T C π ( ) ∫ = D d N ω ρ ω ω 0 3 3 3 2 0 3 2 2 2 3 3 1 2 3 3 D p D p v V d v V N ω π ω ω π ω = = ∫ B D 1/3 2 3 3 6 = Θ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = k V N vp D h h π ω • 确定Debye频率 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 • 用Debye近似和Einstein近似得到的比热与温度 的关系，引自J. de Launay, Solid State Physics, Vol.2, Academic Press, New York, 1956. • 很明显，Einstein温度—比热关系在极低温度 时，过快地趋于零，而Debye关系较好