第一章运动学(上) (第一章上参阅教材 §1.3.§2 运动学研究机械运动的描述方法,也就是讨论机械运动的几何学方面的特性,而不涉及 机械运动变化的原因,即不涉及动力学方面的特性。 1.1.质点运动学(参阅教材§1.2.) 1.质点运动学描述质点的机械运动,主要就是描述质点的位置、速度、加速度和运动轨 迹以及它们之间的关系等。所采用的数学工具有:矢量、坐标系、微分、积分等。 质点的位置用质点的位矢F=f()来表示,利用求导数的方法可求得速度p≈和加速度 a dy d2r dt 利用积分可作上述运算的逆运算 2.为了对质点的机械运动进行具体的描述,必须选用合适的坐标系。常用的坐标系有 (1)直角坐标:坐标曲线是互相垂直的三组平行直线族,沿坐标曲线的矢量(组成 组基矢)方向是不变的,且相互垂直。因而我们总可选一组单位常矢量i,,k作为基矢 (平面直角坐标情况相仿)。这些特点使我们运用起来很方便。 (2)平面极坐标(当质点在平面运动时,有时可选用) (3)球坐标(球极坐标) (4)柱坐标 以上三种坐标是我们最常用的曲线坐标,曲线坐标的坐标曲线一般为曲线族,(因而在 各点沿坐标曲线的切线的单位矢量,方向可能不同,但只和质点的位置有关,而和速度无关) 当然也不完全排除直线族(例如:柱坐标的坐标曲线中有互相平行的直线族;平面极坐标、 球坐标、柱坐标的坐标曲线中均有互不平行的射线族)。 在这三种情况下,沿坐标曲线(的切线)的单位矢量依然是相互垂直的(我们称之为 正交的),因而它们满足可·=6k(特别可1·e=1)若=()依赖于任意参数, 则⊥。特别若O为单位矢量l1与某一固定方向的夹角,则有 1。例如:在平 面极坐标情形下,取互相垂直的径向和横向单位基矢,可求得出d d e e=b,=-,;进而可求得节和a的表达式。(以上参阅教材5-7页) 在此给出球坐标系(球极坐标)中求速度加速度的运算过程: =rsin cosodx=sin 0 cos odr+rcos@ cos odo-rsin sin do y= rsin esin dy= sin esin dr+ rcos Osin d+rsin6 cos odo可求得九个偏导数 c=rose d= cos edr-rsin ede1 第一章 运动学 （上） （第一章上参阅教材§1．2．§1．3．§2．1．§2．2．） 运动学研究机械运动的描述方法，也就是讨论机械运动的几何学方面的特性，而不涉及 机械运动变化的原因，即不涉及动力学方面的特性。 1．1．质点运动学 （参阅教材§1．2．） 1．质点运动学描述质点的机械运动，主要就是描述质点的位置、速度、加速度和运动轨 迹以及它们之间的关系等。所采用的数学工具有：矢量、坐标系、微分、积分等。 质点的位置用质点的位矢 r r(t)   = 来表示，利用求导数的方法可求得速度 dt dr v   = 和加速度 2 2 dt d r dt dv a    = = ；利用积分可作上述运算的逆运算。 2．为了对质点的机械运动进行具体的描述，必须选用合适的坐标系。常用的坐标系有： （1）直角坐标：坐标曲线是互相垂直的三组平行直线族，沿坐标曲线的矢量（组成一 组基矢）方向是不变的，且相互垂直。因而我们总可选一组单位常矢量 i j k , , 作为基矢 （平面直角坐标情况相仿）。这些特点使我们运用起来很方便。 （2）平面极坐标（当质点在平面运动时，有时可选用） （3）球坐标（球极坐标） （4）柱坐标 以上三种坐标是我们最常用的曲线坐标，曲线坐标的坐标曲线一般为曲线族，（因而在 各点沿坐标曲线的切线的单位矢量，方向可能不同，但只和质点的位置有关，而和速度无关）； 当然也不完全排除直线族（例如：柱坐标的坐标曲线中有互相平行的直线族；平面极坐标、 球坐标、柱坐标的坐标曲线中均有互不平行的射线族）。 在这三种情况下，沿坐标曲线（的切线）的单位矢量依然是相互垂直的（我们称之为 正交的），因而它们满足 i k ik e  e =    （特别 el  el = 1   ）。若 ( ) l l e e   = 依赖于任意参数  ， 则 l l e d de   ⊥  。特别若  为单位矢量 l e  与某一固定方向的夹角，则有 = 1 d del  。例如：在平 面极坐标情形下，取互相垂直的径向和横向单位基矢 , r e e ，可求得 , r r de de e e d d     = = − ； , r r e e e e = = −     ；进而可求得 v 和 a 的表达式。（以上参阅教材 5－7 页） 在此给出球坐标系（球极坐标）中求速度加速度的运算过程： sin cos sin sin cos x r y r z r       =   =   = sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin dx dr r d r d dy dr r d r d dz dr r d                     = + −   = + +   = − 可求得九个偏导数