4. de moivre由式 1722年, Abraham de moivre(法,1667~1754)在他的笔记中说,比为1:n的上所角(a部 na)的足矢x(= vers a≡1-cosa)与t(= vers no≡1- cos na)用间的关系示图由 1-221+ 1-2z+z2=-2x 中去2而得函.不所结果是 de moivre公式 (cosa±- I sin a)"= cos na±√- Isin na 示惜 de moivre性没有明显地得函不所最的复式,最的结果是 Euler个的 在 de moivre的结果中,n是足整数, Euler还、。n。广为任,以数 5. Euler关于复数的对数的正确结论 1747年前小,Eul指数函数、数函数部夏角函数用间的联亲已有充分的经验 得函有关复数的数的足确结论,1749年他在“论 Leibniz先生与 bernoulli先生关满负数部 数的数用争论”则原中,不场争论作中肯的分析.针上人由 d 而引发的争论,他不同, Leibniz的论点(即 d.z- dz 只足x于立),又指个, . Johann bernoulli从中得个的足确结论是应当ln(-x)部lx只差则所常 数,不所常数是lm(-1). Euler说, Bernoulli以际上假设(-1)=0,、不是需要可明 特和是, Johann bernoulli本 则所场合时可明y=P 177年图小, Euler禾用i来数复 6. Euler的复数概念 在澄清负数的”数部复数的数面概念小,Eulr试图进则解释复数函底是什的数,他 复数称用为“幻想中的数”或“不示能的数”,他在《数数的完整的介绍》(178~1769年在 国个版,1770年在德国个版)则:中说: 因为所有示图想象的数都或者比0一,或者比0小,或者面满0,所图很清楚,负数的 根不能包括在示能的数中.从而我们必须说它们是不示能的数.然而不种情况使我 们函则种数的概念,它们、其本性说来是不示能的数,因而通常叫儆^数或者幻想中 的数,因为它们只存在与想象用中 Euler在:中还犯则所今天看来十分低级的错误.他认为 因为vavb=√ab Euler、复数叫做不示能的数,、又说它们是有用的,用处是用来断问题是否有解,他举 例 果要、12分于上部分,使它们的乘积为40,不上部分是6+√部6-√-4,从而示Wu Chong-shi ∗ §1.7 ÜÝÞßàáâ (ã ä ) å 10 æ 4. de Moivre ÐÑ 1722 ✫✬ Abraham de Moivre(❍ ✬ 1667 ∼ 1754) ✗✸✤ çè ✧ ➯✬é❵ 1 : n ✤❹✐ ❿ (α ❊ nα) ✤➧ê x(= vers α ≡ 1 − cos α) ➨ t(= vers nα ≡ 1 − cos nα) ❶ ➄✤ ➊➆❼ ❽Ú 1 − 2z n + z 2n = −2z n t 1 − 2z + z 2 = −2zx ✧ëì z ❝ Û⑤✪P✐➇➈➃✖ de Moivre Ù ❴ ✬ ￾ cos α ± √ −1 sin α
n = cos nα ± √ −1 sin nα. ❏❼í de Moivre î➪❤ ❭ï✿Û⑤P✐ðñ✤❆ò❴ ✬ðñ✤➇➈✖ Euler ❄ ❅✤✪ ✗ de Moivre ✤➇➈ ✧ ✬ n ✖ ➧ ó✲ ✬ Euler ôõ n ö ÷❵ø✭ ❥✲✪ 5. Euler ùúûü♦ýü♦þÿ￾q 1747 ✫✁❯ ✬ Euler ➁ ⑦ ✲④✲ ✚ ➁✲④✲❊✛ ❿④✲❶ ➄✤➅ ➆ ✂❤ ❂✄ t ✤☎✆✬✝ ❽ Û⑤❤ ➊⑥✲✤➁✲✤➧✞➇❁✪ 1749 ✫✬✸✗ ✟❁ Leibniz ✠ ✱ ➨ Bernoulli ✠ ✱ ➊➦ ❛✲❊❃ ✲✤➁✲❶✃❁✡ ✻ ➙ ✧✬ ➁P☛✃❁☞ ❂✧ ➾ ✤ t✌ ✪✍➁❹✎ Ú d(−x) −x = dx x ❝ ★➉✤✃❁ ✬✸➑ ❑✭ Leibniz ✤❁➤ (⑩ d ln x = dx x ➷ ➁➧ x ➬✈ ) ✬ ➟ ⑦ ❅ ✬ Johann Bernoulli ✏ ✧Û ❅✤➧✞➇❁ ✖Õ Ö ln(−x) ❊ ln x ➷✑✻✐✒ ✲ ✬P✐✒✲ ➃✖ ln(−1) ✪ Euler ➯✬ Bernoulli ❥✓✔➲✕ ❂ ln(−1) = 0 ✬❏P✖✖✗❬ ❭✤✪ ✘❫ ✖✬ Johann Bernoulli ✙ ✎ ✗ ↕✻✐☛❘ ➃❬ ❭ ❂ ln √ −1 = √ −1π/2 ✪ 1777 ✫ ❽❯ ✬ Euler ① ❩❈❉ i ✚✜❆ √ −1 ✪ 6. Euler ♦ûü✛✜ ✗✢✣ ❂❛✲✤➁✲❊⑥✲✤➁✲❸✤✥❯ ✬ Euler ✦ ➹ ➫✻ ➭ ✦✧⑥✲⑤★ ✖✩ ➺ ✲ ✬✸ õ ⑥✲ Ø❶❵ ✟✪✫ ✧✤✲✡➀ ✟➑❼➩✤✲✡✪ ✸✗ ✹ ➁ ✜ ✲✤ ✬ó✤✭✮✺ (1768 ∼ 1769 ✫✗ ✯ ✰❅♠✬ 1770 ✫✗✱ ✰❅♠) ✻✼ ✧ ➯➥ ❜ ❵ ➂❤❼ ❽✫✲✤✲✳➀✴ é 0 ✮ ✬ ➀✴ é 0 ✵✬ ➀✴❸➦ 0 ✬➂ ❽✶ ✣ ✷✬ ❛✲✤ ✸✢❦➑➩ ✹✺✗ ❼➩✤✲ ✧✪✏❝✻✼❣✽ ➯➻✼✖➑❼➩✤✲✪ ❮❝P◗✾✿➔ ✻ ✼ò⑤ ✻◗✲✤✤✥✬➻✼➃➍✙ ❙ ➯✚✖➑❼➩✤✲ ✬❜❝➜✒❀❁❃✲➀✴✪✫ ✧ ✤✲ ✬❜❵ ➻✼ ➷ ➵ ✗➨✫✲❶ ✧✪ Euler ✗✼ ✧ ô❂ ❂ ✻✐❃❄❅✚➮ t❆❇✤❈❉✪ ✸✽❵ √ −1 · √ −4 = √ 4 = 2, ❜ ❵ √ a √ b = √ ab ✪ Euler õ ⑥✲❀❁➑❼➩✤✲ ✬❏➟ ➯➻✼✖❤❩✤✪❩❊ ➃✖❩ ✚ ❪➠ ❋●✖❍❤✦✪✸■ ❏ ➯✬➳➈ ✗õ 12 t ➬❹②t✬➔ ➻✼ ✤❑ s ❵ 40 ✬P❹②t➃✖ 6 + √ −4 ❊ 6 − √ −4 ✬✏❝ ❼ ❽❪➠P✐ ❋●✖➑❼✦✤✪ 7. ▲ü▼◆❖P 1702 ✫✬Johann Bernoulli ➠➡✬ ø◗❤③④✲✤ st➣✖ ✹❘✛ ❿④✲ ➨ ➁✲④✲❶❙✤ø ◗❚❯④✲✪ Johann Bernoulli ➠➡✤➧✞❙❱❲➦➩ ❍❳ø◗ ✻✐ ❥➆✲ ❨❩❴ t ✦❵ ❥➆✲