81.7关于复数的历史 1.早的页史 复数,最早(16世纪是在二次 数数方程的求解中复数的15)mm是友 对,序实 数 家,劳的术家1570在他的AMgm《一术》) 中加真地 数给个复数的和运算法但同时相怀,否能运算的仓沽性。此 使师款数复家120~0路的地用数证明方程的 为负(果而 2. Johann bernoulli与 Leibniz的争论 在微积分’的立第程中、Johann bernoull 1748)f Gottfried Wilhelm Leibniz(1646 1716)用讲分分法求有解析数的积分时用函数.1702年 Johann bernoulli指个,在替换 t+1 √=1b+z 平有 同 逆、定 果面上点的表析数示以分和复一为反角析数楚对数析数没所以的吗Bm 反角析数和对数析数之间的联亲不所结果复发有关负数 数和数的对数性质称这 Leibniz则方面在积分 (其中是少d为数 时毫不犹豫地使用对数析数、加为~数的个是如害的,-则方面、在1712年的文章( Acta crud. 1712,167~169或见Mah. Schriften,5,37~389以及1712~173年间和 Johann bernoulli的通 信中,却又断言负数的对数是构的. Leibniz的点是:一于1的数的对数为正,0与1之间的 数的筹数为负果此不示能有负数的对数.他、则或假如-1的对数存在那么√一的对数 是它的则半而√一肯定是没有对数的.而 动⑩0形mn ouli力图证明负数的对数是以数 的观点是:果 d(_x) 也 所以mn(-x)=lx;又果为ln1=0所以m(-1)=0. Leibniz反或adlx=d/x对正数 于立 十几年小a1727~1731年间 L einhard euler(1707~1783)和 Johann bernoulli又发实向 Johann bernouli仍然作他的见解。而 Euler复不同 3. Euler由式 例的为的复是 1714年 Roger Cotes(英1682~1716)发复则所关于数的定解用在的复 设成 ld=ln(cos+√=lsin) 1740年10月18日 设在给 Johann Bernoulli的信中 蹙啊同2E和y=、同+是同 则所微分方程的解果此应当相面.1743年他又发复(在极为 Euler公")Wu Chong-shi ÿ￾✁ ✂✄☎✆ ✝ 9 ✞ ∗§1.7 ✟✠✛✜⑥✡☛ 1. ☞✌❨✍✎ ✏✑✳ ✒✓ (16 ✔✕) ✖✗✘✙✚✛ ✙✜✑✢✣✤✥✦ ✧★✩✤✪1545 ✫✬Girolamo Cardano(✭ ✮✯✬✰✱ ✚ ✲ ✳✴✚ ✵✶✷ ✴ ✬1501 ∼ 1576) ✗✸✤ Ars Magna( ✹✮✷✺) ✻✼ ✧✽✾✿❀❁ ❂❃ ✲ ✬❄ ❅❆❇❃✲✤❈❉❊❋●❍■✬❏ ❑▲▼◆❖P◗❋●✤❘❍❙✪❚❯✬ Rafael Bombelli(✭ ✮✯✬❱✣❲✚✜ ✲ ✳✴✬ 1526 ∼ 1572) ❳❨✿❋❩❃✲ ✬❬ ❭ ❂✛ ✙ ✢✣✤❪❫❴❵ ❛ (❜❝ ❞ ❡❃✲❢✢ ) ▲❣❤✛✐ ❥❦ (❧ ✹✜ ✲ ✳✺ ✬ 1572 ✫ ❅♠) ✪ 2. Johann Bernoulli ♥ Leibniz ♦♣q ✗rst ✳✤✉✈✇✣ ✧✬ Johann Bernoulli(1667 ∼ 1748) ❊ Gottfried Wilhelm Leibniz(1646 ∼ 1716) ① ❩②tt❴❍✥❤③④✲✤ st▲❩⑤ ❂⑥✲✪ 1702 ✫✬ Johann Bernoulli ⑦ ❅ ✬✗⑧⑨ z = √ −1b t − 1 t + 1 ⑩ t = √ −1b − z √ −1b + z ❶❷✬❤ dz z 2 + b 2 = − dt √ −12bt . ❜ ❵❸❴❹❺✤❻④✲❼ ❽ t ❫❆❇❵❾✛ ❿④✲➀➁✲④✲ ✬➂ ❽ Johann Bernoulli ➃ ✉✈ ❂ ❾✛ ❿④✲❊➁✲④✲❶ ➄✤➅ ➆✪P✐➇➈ ★➉ ❂❤ ➊❛✲✤➁✲❊⑥✲✤➁✲❙➋✤❀❁✪ Leibniz ✻ ✢ ➌✗st Z dx cx + d (➍ ✧➎ ➏ d ❵⑥✲ ) ▲ ➐➑➒➓✿➔❩➁✲④✲ ✬✽❵⑥✲✤ ❅→✖➣ ↔✤ ✬↕✻✢ ➌✬✗ 1712 ✫ ✤➙➛ (Acta Erud., 1712, 167 ∼ 169 ✬ ➀ ❧ Math. Schriften, 5, 387 ∼ 389) ❽❡ 1712 ∼ 1713 ✫ ➄❊ Johann Bernoulli ✤➜ ➝ ✧ ✬ ➞➟➠➡ ❛✲✤➁✲✖ ❃➢✤✪ Leibniz ✤❁➤✖➥✮➦ 1 ✤✲✤➁✲❵➧✬ 0 ➨ 1 ❶ ➄✤ ✲✤➁✲❵ ❛✬❜❚➑❼➩❤ ❛✲✤➁✲✪ ✸➫✻ ➭➯✬➲➳ −1 ✤➁✲➵✗✬➸ ➺ √ −1 ✤➁✲ ➃✖➻✤ ✻➼➽❝ √ −1 ➾➚✖➪❤➁✲✤✪❝ Johann Bernoulli ■ ➶➹❬ ❭❛✲✤➁✲✖ ❥✲✪ ✸ ✤➘➤ ✖➥❜❵ d(−x) −x = dx x , ➂ ❽ ln(−x) = ln x ➽ ➟ ❜ ❵ ln 1 = 0 ✬➂ ❽ ln(−1) = 0 ✪ Leibniz ❾➴➯✬ d ln x = dx/x ➷ ➁➧✲ x ➬✈✪ ➮➱✫❯ ✬1727 ∼ 1731 ✫ ➄ L eonhard Euler(1707 ∼ 1783) ❊ Johann Bernoulli ➟➉✱ ❂✃❐✪ Johann Bernoulli ❒❮❰Ï✸✤ ❧ ✦ ✬❝ Euler ❆❇➑ ❑✭ ✪ 3. Euler ÐÑ 1714 ✫ Roger Cotes(Ò✬ 1682 ∼ 1716) ➉❆ ❂ ✻✐ ➊➦⑥✲✤ ➚③ ✬ ❩→ ✗ ✤❈❉❆❇✬➃✖ √ −1φ = ln ￾ cos φ + √ −1 sin φ
. 1740 ✫ 10 Ó 18 Ô✬ Euler ✗❄ Johann Bernoulli ✤➝ ✧ ➯ y = 2 cos x ❊ y = e √ −1x + e− √ −1x ✖ ❑ ✻✐ rt✢✣✤✦✬❜❚Õ Ö×❸✪ 1743 ✫✬✸➟➉❆ ❂ (→ ✗➃Ø❵ Euler Ù ❴ ) cos s = 1 2 h e √ −1s + e− √ −1s i , sin s = 1 2 √ −1 h e √ −1s − e − √ −1s i . 1748 ✫✬✸➉→ Ú Euler Ù ❴ ➃ ❼ ❽Û⑤ Cotes ✤➇➈✪