81.6无穷远点 对于无界序列{zn},给定任意正数M,不存在一个正整数N,使当n>N时,|zn<M 换句话说,总有无穷多个zn满足|zn|>M.这时可以仿照序列在有限远处的聚点的概念,称无穷 远点(记为∞点)为无界序列的一个聚点.例如z=1和z=∞就是序列 1,2,1,4,1,6,1,8 的两个聚点 如果一个无界序列在有限远处无聚点,那么,∞点就是它的唯一的一个聚点,或称无界序列 收敛于∞点 无穷远点也是一个(复)数,其模大于任何正数,辐角不定.在复数平面上也存在相应的一点 以任意方式无限地远离原点,即可到达无穷远点 包括有无穷远点的复数平面称为扩充了的复数平面 为了更直观地表现无穷远点,还可以引进复数球面 过复数平面上的原点(0,0)作直径为1的球面,使与复数平面相切,切点称为南极.过南极的 直径的另一端点称为北极N.适当定义球面坐标(6,o),例如使φ=0和π的两个半平面与复数 平面相交于正负实轴,而θ=0和π则对应于北极和南极.这样定义的球面就称为复数球面,如 图18 图1.8复数球面 对于复数平面上一点z,将它和复数球面的北极N相连,此连线和球面必有一交点,这就是 说,复数球面上的点和复数平面上的点也存在一一对应的关系.于是,就可以用复数球面上的这 个交点来表示复数z.例如南极对应于复数0,赤道对应于复数平面上的单位圆.让复数平面上 的点无限地远离原点,就得到无穷远点在复数球面上的对应点一北极N 对于无穷远点,还可以用变换(或映射)的语言定义.例如变换v=1/z就建立了复数z和复 之间的一一对应关系.复数z=0对应于u=∞,而z=∞对应于=0Wu Chong-shi §1.6 ❰ Ï Ð Ñ ✌ 8 ✍ §1.6 Ò Ó Ô Õ ✯➬✕✯✰ ✷ {zn} ✳ ✏ ❂ñò✬✲ M ✳ P ✒✓✮❅✬ ó ✲ N ✳✭✷ n > N ✸✳ |zn| < M ❖ Ö×Ø❶ ✳✵ ✭✕✖✗❅ zn ➦➧ |zn| > M ❖ ❁✸ ❬❥Ù✟✰ ✷✓ ✭ ✚ÚÛ❉ ✘❺ ❉➈➉✳❀ ✕✖ Ú ❺ (❇❈ ∞ ❺ ) ❈ ✕✯✰ ✷❉✮❅✘❺❖→➣ z = 1 ❫ z = ∞ ❢ ➎✰✷ zn = 1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, · · · ❉■❅✘❺❖ ➣❜✮❅✕✯✰ ✷✓ ✭ ✚ÚÛ✕✘❺ ✳ ÜÝ✳ ∞ ❺ ❢ ➎ð ❉ ï✮❉ ✮❅✘❺ ✳➯❀✕✯✰ ✷ ✹✺➬ ∞ ❺❖ ✕✖Ú ❺ ➴ ➎✮❅ (❆ ) ✲ ✳✣Ý ❚➬ ñ✉ ✬✲ ✳ Þ ➳ P ❂ ❖ ✓ ❆✲❷❸❹➴✒✓▼➷ ❉ ✮❺❖ ❥ ñò⑨ ☎✕✚ÞÚß➙❺✳❐❬↕à✕✖Ú ❺❖ áâ✭✕✖Ú ❺ ❉ ❆✲❷❸❀❈ãä❄❉❆✲❷❸❖ ❈❄åæçÞ❻è✕✖Ú ❺ ✳➂❬❥éê❆✲ë❸❖ ❾❆✲❷❸❹❉ ➙❺ (0, 0) ❰æ ❖ ❈ 1 ❉ ë❸ ✳✭♥ ❆✲❷❸▼ì ✳ ì❺ ❀❈í✙❖❾ í✙❉ æ ❖ ❉î ✮↔❺❀❈ï✙ N ❖ð ✷❂❃ë❸ ➢➤ (θ, φ) ✳→➣✭ φ = 0 ❫ π ❉■❅◆❷❸♥ ❆✲ ❷❸▼ñ➬✬ò✱↕ ✳✻ θ = 0 ❫ π ✻ ✯➷➬ï✙❫ í✙❖ ❁❵❂❃❉ë❸ ❢❀❈❆✲ë❸ ✳➣ ❽ 1.8 ❖ ❾ 1.8 ❿➀óô ✯➬❆✲❷❸❹✮❺ z ✳➓ ð❫❆✲ë❸ ❉ï✙ N ▼❭ ✳❱ ❭❫❫ë❸ ✢ ✭✮ñ❺ ✳❁❢➎ ❶ ✳ ❆✲ë❸❹❉ ❺❫❆✲❷❸❹❉ ❺ ➴✒✓✮✮✯➷ ❉ ➋õ❖➬➎ ✳❢❬❥❶❆✲ë❸❹❉❁ ❅ñ❺❛❻❼❆✲ z ❖ →➣í✙✯➷➬❆✲ 0 ✳ö÷✯➷➬❆✲❷❸❹❉❣❤ ❑ ❖ø❆✲❷❸❹ ❉ ❺✕ ✚ÞÚß➙❺✳❢◗ ↕✕✖Ú ❺ ✓ ❆✲ë❸❹❉ ✯➷❺ ï✙ N ❖ ✯➬✕✖Ú ❺ ✳➂❬❥❶●Ö (➯ùú) ❉ûü❂❃❖ →➣●Ö w = 1/z ❢ýþ❄ ❆✲ z ❫❆ ✲ w øù❉✮✮✯➷➋õ❖❆✲ z = 0 ✯➷➬ w = ∞ ✳✻ z = ∞ ✯➷➬ w = 0 ❖