区域的边界点和边界所谓区域的边界点,并不属于区域,但是以它为圆心作圆,不论半径 如何小,圆内总含有区域的点 边界点的全体就构成边界 区域边界的方向如果沿着边界走,区域保持在左方,则走向称为边界的正向.例如,对于 环域a<||<b,边界是圆周|z|=a和|z=b.对于内圆|2=a来说,边界正向是顺时针方向 对于外圆||=b来说,边界正向是逆时针方向 区域G加上边界C就构成闭区域石.石=G+C 复变函数设有复数平面上的一个区域G,如果对于G内的每一个z值,都有一个或多个 复数值v与之对应,则称为z的函数一—复变函数,记为 U=f(2), 定义域为G 因为z=x+iy,所以 w=f(a)=u(, y)+iv(a, y) 其中u(x,y)和v(x,y)都是x和y的实函数 个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组 §1.5复变函数的极限和连续 复变函数也有极限和连续的概念.简单介绍一下这两个概念和有关结论 复变函数的极限概念设函数f(x2)在20点的邻域内有定义,如果存在复数A,对于任意的 E>0,总能找到一个6()>0,使当|z-20|<δ时,恒有|f(z)-A<ε,则称z→0时∫(z)的 极限(=A)存在,且表示为 lim f(z)=A 连续(的复变)函数设函数f(x)在20点及其邻域内有定义,且 lim f(2)=f(20),即对于任 意的ε>0,存在6(=)>0,使当|z-20<6时,恒有|f(z)-f(z0)<ε,则称∫(z)在20点连续 复变函数中极限和连续概念的表述,在形式上和实变函数中完全相同.但由于所涉及的数的 变化范围不同(一个是在复数平面上变化,一个只限于在实轴上变化),因此,实际含义并不完全 相同 函数在区域G内每一点都连续,称为在G内连续 在闭区域G中连续的函数具有两个重要性质Wu Chong-shi ✇①② ③④⑤✝ ✌ 7 ✍ ❲❳❨q ✧✎✪ q ✧ ✐r ❊❋❉ ➫✯❺ ✳ sP ❙ ➬ ❊❋✳❜ ➎❥ð ❈ ❑▲❰ ❑✳ Pt◆❖ ➣✉ ❯ ✳❑❘✵✈✭ ❊❋❉ ❺❖ ➫✯❺ ❉☞✇❢ ❝➃➫✯❖ ❲❳q ✧ ❨①② ➣❜③④➫✯⑤✳❊❋⑥⑦✓⑧⑨✳✻⑤ ✃ ❀❈➫✯ ❉ ✬ ✃❖→➣✳✯➬ ⑩ ❋ a < |z| < b ✳ ➫✯➎ ❑ì |z| = a ❫ |z| = b ❖✯➬ ❘❑ |z| = a ❛❶✳ ➫✯✬ ✃➎✠✸❷⑨ ✃Ï ✯➬❸ ❑ |z| = b ❛❶✳ ➫✯✬ ✃➎✉✸❷⑨ ✃❖ ❊❋ G ✽❹➫✯ C ❢ ❝➃❹ ❊❋ G ❖ G = G + C ❖ ★❺❻✩ ✬✭❆✲❷❸❹❉ ✮❅❊❋ G ✳➣❜✯➬ G ❘❉❼ ✮❅ z ú✳✮ ✭✮❅➯ ✗❅ ❆✲ú w ♥ø✯➷ ✳✻❀ w ❈ z ❉ë✲ ❆● ë ✲ ✳❇❈ w = f(z), ❂❃❋❈ G ❖ ❽ ❈ z = x + i y ✳ ✐❥ w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y), ✣ ✤ u(x, y) ❫ v(x, y) ✮ ➎ x ❫ y ❉ ✱ ë ✲❖ ✮❅❆● ë ✲❇P❾➎ ■ ❅❿➀✱● ë ✲ ❉ ✭✰❬➁❖ §1.5 ✛❅❆✜⑥➂➃➄➅➆ ❆● ë ✲ ➴ ✭ ✙✚❫❭➇❉➈➉❖➊ ❣ ❈❉✮ ✶❁■❅ ➈➉❫✭➋➌t❖ ★❺❻✩ ❨Ø✴➍➎ ✬ ë ✲ f(z) ✓ z0 ❺ ❉➏❋ ❘✭ ❂❃✳➣❜✒✓❆✲ A ✳ ✯➬ ñò❉ ε > 0 ✳✵ ◗✶↕✮❅ δ(ε) > 0 ✳✭✷ |z − z0| < δ ✸✳✔ ✭ |f(z) − A| < ε ✳✻❀ z → z0 ✸ f(z) ❉ ✙✚ (= A) ✒✓✳ ✂❻❼❈ limz→z0 f(z) = A. ➐➑ (❨ ★❺ ) ❻✩ ✬ ë ✲ f(z) ✓ z0 ❺➒ ✣➏❋ ❘✭ ❂❃✳✂ limz→z0 f(z) = f(z0) ✳❐ ✯➬ ñ ò❉ ε > 0 ✳✒✓ δ(ε) > 0 ✳✭✷ |z − z0| < δ ✸✳✔ ✭ |f(z) − f(z0)| < ε ✳✻❀ f(z) ✓ z0 ❺❭➇❖ ❆● ë ✲ ✤✙✚❫❭➇➈➉❉ ❻➓ ✳✓ ➭☎❹❫✱● ë ✲ ✤☛☞▼ ❴ ❖ ❜ Ð ➬✐➔➒ ❉ ✲ ❉ ●→➣ ↔P ❴ (✮❅➎✓ ❆✲❷❸❹●→✳ ✮❅❇ ✚ ➬ ✓ ✱↕❹●→) ✳ ❽ ❱✳ ✱➙ ✈❃ sP ☛☞ ▼ ❴ ❖ ë ✲ ✓❊❋ G ❘❼✮❺✮ ❭➇✳❀❈✓ G ❘ ❭➇❖ ✓ ❹ ❊❋ G ✤ ❭➇❉ë✲ ❪ ✭ ■ ❅➛▼ î✄✼ 1. |f(z)| ➜ G ➝➞➟✳➠➡➢➤➥➦➧➟Ï 2. f(z) ➜ G ➝➨➩➫➭✳➯➲➳➵➸➥ ε > 0 ✳➺➜➻ z ➼ ➽➥ δ(ε) > 0 ✳➾ G ➝➥➵➚➪ ➶➹ z1 ➘ z2 ✳➴➷➬➮ |z1 − z2| < δ ✳➱➞ |f(z1) − f(z2)| < ε ❖ ❭➇ë ✲ ❉ ❫❏✃❏r❏❐ (✓ ❑❒P ❈❮❉ ❺ ) ✳ ❥➒❭➇ë ✲ ❉ ❆➁ ë ✲ ➛ ➎❭➇ë ✲❖