322多值函数 多值函数及其应用在解析函数理论中占有重要地位 根式函数,对数函数,反三角函数,都是多值函数 介绍根式函数及对数函数,并通过这两种函数阐述多值函数的一些基本概念 别的多值函数都可以用这两种多值函数表达 ★根式函数√z-a 根式函数=√的定义给定一个自变量值z,凡是满足等式v2=z的v值,就是根式函 数√z的函数值,或者说是z的平方根 它是幂函数2=即U=2的反函数 它的多值性表现在 对应于一个自变量值2,根式函数√z可取两个值 为了更清楚地看出多值函数的性质,现在仔细分析一下函数 采用极坐标表达式 2-=Te 代入则有 0,±1,±2 因此,对于给定的一个z值,有两个v值与之对应 u1(2) 相当于上面的n=0,±2 相当于n=±1,±3 函数v=√z-a的多值性来源于辐角的多值性, 准确说,来源于宗量z-a(而非自变量2)辐角的多值性 多值性的表现则是函数v的辐角 为了确定起见,以后就把函数u=√z-a明确表示成 叫=√/2z-al,arg 为了更进一步揭示多值函数w=√z-a的性质,现在不妨规定好z平面上某一点arg(z-a) 的值,而后研究z沿一定曲线连续变化时,相应的v值的连续变化.当z沿一定简单闭合曲线(即Wu Chong-shi ❄❅❆ ￾✁✂✄❇❈❉✂✄ ☎ 25 ✆ §2.2 ➯ ➲ ✒ ✓ ➳➵➸➺➻➼➽➾➚➪➶➸➺➹➘ ➴➷➬➮➱✃❐✴ ❒❮➸➺❏❰➺➸➺❏ÏÐ Ñ➸➺❏ÒÓ ➳➵➸➺✴ ÔÕ❒❮➸➺➻❰ ➺➸➺❏Ö×ØÙÚÛ➸➺ ÜÝ ➳➵➸➺Þßàáâãä✴ åÞ ➳➵➸➺Òæ ç➾ ÙÚÛ ➳➵➸➺èé✴ F ê❴❋● √ z − a ê❴❋● w = √ z ëìí î ❩❳✇ ï ✬ð➄ z ❏ ñ★òós❤ w 2 = z ✱ w ➄❏ô★➔❤✕ ✖ √ z ✱✕✖➄❏❽õö★ z ✱▲÷➔ ✴ ✜★✔✕✖ z 2 = w ø w = z 2 ✱ù✕✖✴ ✜ ✱❢➄✽úû✭➅ ❰ ➽üßý þÿ￾➵ z ❏ ❒❮➸➺ √ z æ✁Ú ý➵✴ ✿✂✄☎✆✝✦ ➨❢➄✕✖✱✽❃❏û✭✞✟❞✼❳✠ ✕✖ w = √ z − a. ✡➊☛☞✌ú✍❤ w = ρe iφ , z − a = re iθ , ✎✏④❂ ρ = √ r, φ = θ 2 + nπ, n = 0, ±1, ±2, · · ·. ➥➦❏⑤t î ❩ ✱ ❳ ✇ z ➄❏❂✑✇ w ➄✒✓⑤ ✪ ➅ w1(z) = √ re iθ/2 ✩ ❍ t✔ ▼✱ n = 0, ±2, · · · w2(z) = √ re i(π+θ/2) = − √ re iθ/2 ✩ ❍ t n = ±1, ±3, · · · ✕✖➅ • ✕✖ w = √ z − a ✱❢➄✽✗✘t✙ ✙✱❢➄✽❏ ✚✛ö ❏✗✘t✜ð z − a(✢✣ ï ✬ð z) ✙ ✙✱❢➄✽✴ • ❢➄✽✱úû④★ ✕✖ w ✱ ✙ ✙✴ ✿✂ ✛❩✤✥❏ ✥✦ô✧ ✕✖ w = √ z − a ➙ ✛ ú★ ✧ |w| = p |z − a|, arg w = 1 2 arg(z − a). ✿✂✄❲❳❨✩ ★❢➄✕✖ w = √ z − a ✱✽❃❏û✭➂✪✫❩✬ z ▲▼✔✭❳P arg(z − a) ✱➄❏✢ ✦✮✯ z ❸ ❳❩ ✛✰✱✲✬➤■❏✩✪✱ w ➄✱✱✲✬➤✴❍ z ❸ ❳❩✳✴✵✶ ✛✰ (ø