04-05-2学期《高等数学》期中考试参考答案 、填空与选择题(每小题4分,共32分) 1.以曲线{x+y2= 为准线,母线平行于z轴的柱面方程是x2+y2-2 提示这实际上是求曲线{x+y=关于xy面的投影柱面的方程 将方程{x+y=中的消去得x+2=2,这就是投影柱面的方程 C=2X 曲线{x2+2-42=0绕轴旋转所得的旋转曲面的方程是 答:x2+y2 提示 将方程x+2-4=0中的x换成±x2+y2,得 3.直线x1==2与平面3x+4y-=2的位置关系是(C) (A)平行;(B)垂直;(C)直线在平面内;(D相交但不垂直 提示:直线的方向向量为s=(3,-2,1),平面的法线向量为n=(3,4,-1) 因为sn=0,所以直线与平面平面.又因为直线上的点(1,0,1)满足平面方程,所以直 线是在平面上的 4.设=8im(2x+3y,则 解 a- a x Sin(2x+3y+2xcos(2x+3y) 02==3cos(2x+3y)-6xsm(2x+3y) 5.函数(x,y,z=xy2z在点(1,1,1)处沿方向a={2,-1,2}的方向导数为 解f(1,1,1)=(3x2y2)1,1,1)=3, f(1,1,1)=(2x3y2),1,1)=2, f(1,1,1)=(x3y2)1,1,1)=1; e=2(2-12) 于是y2+2(-1+12=2 第一页第一页 04−05−2 学期《高等数学》期中考试参考答案 一、填空与选择题(每小题 4 分 共 32 分) 1．以曲线    = + = z x x y z 2 2 2 为准线 母线平行于 z 轴的柱面方程是____x 2+y 2−2x=0____ 提示 这实际上是求曲线    = + = z x x y z 2 2 2 关于 xoy 面的投影柱面的方程 将方程    = + = z x x y z 2 2 2 中的 z 消去得 x 2+y 2=2x 这就是投影柱面的方程 2．曲线    = + − = 0 4 0 2 2 y x z z 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是 答 x 2+y 2+z 2−4z=0 提示 将方程 x 2+z 2−4z=0 中的 x 换成 2 2  x + y  得 x 2+y 2+z 2−4z=0 3．直线 1 1 3 2 1 − = − = x− y z 与平面 3x+4y−z=2 的位置关系是( C ) (A)平行 (B)垂直 (C)直线在平面内 (D)相交但不垂直 提示 直线的方向向量为 s=(3 −2 1) 平面的法线向量为 n=(3 4 −1) 因为 sn=0 所以直线与平面平面 又因为直线上的点(1 0 1)满足平面方程 所以直 线是在平面上的 4．设 z=xsin(2x+3y) 则 x y z    2 =______ 解 sin( 2x 3y) 2xcos(2x 3y) x z = + + +    3cos(2 3 ) 6 sin( 2 3 ) 2 x y x x y x y z = + − +     5．函数 f(x y z)=x 3y 2 z 在点(1 1 1)处沿方向 a={2 −1 2}的方向导数为____ 解 fx(1 1 1)=(3x 2y 2 z)|(1 1 1)=3 fy(1 1 1)=(2x 3yz)|(1 1 1)=2 fz(1 1 1)=(x 3y 2 )|(1 1 1)=1 (2, 1, 2) 3 1 ea = −  于是 2 3 2 ) 1 3 1 2 ( 3 2 =3 +  − +  =   a f 