第三章非线性规划 §1非线性规划 线性规划的实例与定义 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问 题。一般说来,解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且,也不象线性规划有 单纯形法这一通用方法,非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法,各个方法都 有自己特定的适用范围 下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式,介绍有关非线性规划的基本 概念 例1(投资决策问题)某企业有n个项目可供选择投资,并且至少要对其中一个 项目投资。已知该企业拥有总资金A元,投资于第i(i=1,…,n)个项目需花资金a1元, 并预计可收益b元。试选择最佳投资方案 解设投资决策变量为 1,决定投资第个项目 x=10,决定不投资第个项目 则投资总额为∑ax,投资总收益为∑bx。因为该公司至少要对一个项目投资,并 且总的投资金额不能超过总资金A,故有限制条件 0<∑ax1≤A 另外,由于x,(=1,…,n)只取值0或1,所以还有 x(1-x1)=0,i=1,…,n 最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案,所以这个最佳投资决策问题归 结为总资金以及决策变量(取0或1)的限制条件下,极大化总收益和总投资之比。因 此,其数学模型为: x max Q ax st.0<∑ax≤A x(1-x)=0,i=1, 上面例题是在一组等式或不等式的约束下,求一个函数的最大值(或最小值)问 题,其中至少有一个非线性函数,这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式 min sth(x)≤0,j=l…,q g(x)=0, P-32- 第三章 非线性规划 §1 非线性规划 1.1 非线性规划的实例与定义 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问 题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有 单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都 有自己特定的适用范围。 下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本 概念。 例 1 （投资决策问题）某企业有 n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个 项目投资。已知该企业拥有总资金 A 元，投资于第i(i = 1,L,n) 个项目需花资金ai 元， 并预计可收益bi 元。试选择最佳投资方案。 解 设投资决策变量为 ⎩ ⎨ ⎧ = ， 决定不投资第 个项目 决定投资第 个项目 i i xi 0 1, ，i = 1,L,n ， 则投资总额为 ∑= n i i i a x 1 ，投资总收益为 ∑= n i i i b x 1 。因为该公司至少要对一个项目投资，并 且总的投资金额不能超过总资金 A ，故有限制条件 ∑= < ≤ n i ai xi A 1 0 另外，由于 x (i 1, ,n) i = L 只取值 0 或 1，所以还有 x (1 x ) 0, i 1, ,n. i − i = = L 最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归 结为总资金以及决策变量（取 0 或 1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因 此，其数学模型为： ∑ ∑ = = = n i i i n i i i a x b x Q 1 1 max s.t. ∑= < ≤ n i ai xi A 1 0 x (1 x ) 0, i 1, ,n. i − i = = L 上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问 题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式 min f (x) s.t. hj(x) ≤ 0, j = 1,L, q (NP) gi(x) = 0, i = 1,L, p