由于F(x,y)在D上连续性,于是存在ρ>0,使得在线段 p<x<xo+p, y=yo+ B 上F(x,y+B)>0,而在线段 xo-p<x<xo +p, y=yo-B 上F(xy0-B)<0。 因此,对于(x-p,x+p)内的任一点x,将F(x,y)看成y的函数, 它在[y-B,y+上是连续的,而由刚才的讨论知道 F(x,y-B)<0,F(x,yo+B)>0, 根据零点存在定理,必有j∈(1-B,y+B)使得F(x,y)=0。又因为在D 上F>0,因此这样的y是唯一的。由于 yxF ),( 在 * D 上连续性，于是存在 ρ > 0 ，使得在线段 0 − ρ < < 0 + ρ, = yyxxx 0 + β 上 0),( yxF 0 β >+ ，而在线段 0 − ρ < < 0 + ρ, = yyxxx 0 − β 上 0),( yxF 0 β <− 。 因此，对于 ),( 0 − ρ xx 0 + ρ 内的任一点 x ，将 yxF ),( 看成 y 的函数， 它在 ],[ 0 β yy 0 +− β 上是连续的，而由刚才的讨论知道 0),(,0),( yxF 0 − β < yxF 0 β >+ ， 根据零点存在定理，必有 ),( ∈ 0 − β yyy 0 + β 使得 yxF = 0),( 。又因为在 * D 上 > 0 Fy ，因此这样的 y 是唯一的