3设f(X)是直线上的实值连续函数,则对任意常数 a,E=f(x)>a}是开集,而E={x(x)2a是闭集 另证:要证E={×x)2a是闭集,只要证EcE 任取∈E={xf(x)≥a},则存在E中的点列{xn}, 使得mx 由x)在x处连续及xn)a,可知fx0)a 所以x∈{xxa},从而{xx)a}是闭集, 类似可证{xx)≤a}为闭集, 注:用到了 从而{x(x)>a}={xf(x)≤a}是开集 极限保持不等号 前面的证明用 极限的保号性3 设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数 a，E1={x|f(x)>a}是开集，而E={x|f(x)≥a}是闭集 注：用到了 极限保持不等号 前面的证明用了 极限的保号性 另证：要证E={x|f(x)≥a}是闭集，只要证 E ' E 0 lim x x n n = → 任取x0 ∈ E' = {x|f(x)≥ a} ',则存在E中的点列{xn} , 使得 由f(x)在x0处连续及f(xn )≥a ，可知f(x0 )≥a 所以x0 ∈ {x|f(x)≥ a} ,从而{x|f(x)≥a} 是闭集， 类似可证{x|f(x)≤a} 为闭集, 从而{x|f(x)>a} = {x|f(x) ≤a} c是开集