存在常数M>0,使得对任意x,y∈[0,],成立 Jf(x)-f(y)≤M1x-y 14.设∫是[a,b]上的连续函数,g是[a,b]上的有界变差函数.则成立 f(x)dg(xs sup I(xi(8) 15.设∫在[c,d]上满足 Lipschitz条件,g是[a,b]上的绝对连续函数,并且 ≤g(x)≤d.则复合函数∫(g(x))是[a,b]上的绝对连续函数 16.设∫是[c,d上的绝对连续函数,g是[a,b上严格增加的绝对连续函数,并且 c≤g(x)≤d.则复合函数f(g(x)是[a,b]上的绝对连续函数 17设∫是[ab]上的绝对连续函数,P≥1.则/”是[ab]上的绝对连续函数 18.设∫,g是[a,b]上的绝对连续函数.证明g是[a,b上的绝对连续函数 19.设∫是[a,b]上的绝对连续函数,并且在[a,b上f(x)=0ae.证明∫在 a,b]上为常数 20.利用53定理5证明,若∫是[a,b上的L可积函数,并且对任意a≤C≤b,恒 有x=0,则f=0ae 21.设{fn}是[a,b上的一列绝对连续函数,并且存在[a,b上的可积函数F(x) 使得/|sF(n2)ae.又设limf(x)=f(x), lim f,(x)=g(x),ae.证明∫是 [an,b]上的绝对连续函数,并且∫=gae 2设∫是[a,6上的绝对连续函数,并且f(x)≥0,ae.证明∫是单调增加的 23.设∫是[ab]上的单调增加函数.证明∫可以分解成∫=g+h,其中g是单 调增加的绝对连续函数,h是单调增加的函数并且h=0ae. 24.设∫是[a,b]上的单调增加函数,并且成立 f(x)dx=f(b)-f(a) 则∫是[a,b]上的绝对连续函数 25证明函数f(x)=x2in(f(0)=0)在[O,上处处可导,但不是绝对连续的 提示:考察∫(x)在[0,1上的可积性 149149 存在常数 M > 0, 使得对任意 ], 2 1 x, y ∈[0, 成立 ( ) ( ) . α f x − f y ≤ M x − y 14. 设 f 是[a,b]上的连续函数, g 是[a,b]上的有界变差函数. 则成立 ( ) ( ) sup ( ) ( ). b b a a axb f x dg x f x V g ≤ ≤ ∫ ≤ 15. 设 f 在 [c, d] 上满足 Lipschitz 条件, g 是 [a,b] 上的绝对连续函数, 并且 c ≤ g(x) ≤ d. 则复合函数 f (g(x)) 是[a,b]上的绝对连续函数. 16. 设 f 是[c, d]上的绝对连续函数, g 是[a,b]上严格增加的绝对连续函数, 并且 c ≤ g(x) ≤ d. 则复合函数 f (g(x)) 是[a,b]上的绝对连续函数. 17. 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数, p ≥ 1. 则 p f 是[a,b]上的绝对连续函数. 18. 设 f , g 是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 fg 是[a,b]上的绝对连续函数. 19. 设 f 是 [a,b] 上的绝对连续函数, 并且在 [a,b] 上 f ′(x) = 0 a.e.. 证明 f 在 [a,b]上为常数. 20. 利用 5.3 定理 5 证明, 若 f 是[a,b]上的 L 可积函数, 并且对任意 a ≤ c ≤ b, 恒 有 = 0, ∫ c a fdx 则 f = 0 a.e.. 21. 设{ }n f 是[a,b]上的一列绝对连续函数, 并且存在[a,b]上的可积函数 F(x), 使得 f ′ ≤ F (n ≥ 1) a.e.. n 又设lim f (x) f (x), lim f (x) g(x), a.e.. n n n n = ′ = 证明 f 是 [a,b]上的绝对连续函数, 并且 f ′ = g a.e.. 22. 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数, 并且 f ′(x) ≥ 0, a.e..证明 f 是单调增加的. 23. 设 f 是[a,b]上的单调增加函数. 证明 f 可以分解成 f = g + h, 其中 g 是单 调增加的绝对连续函数, h 是单调增加的函数并且 h′ = 0 a.e.. 24. 设 f 是[a,b]上的单调增加函数, 并且成立 ( ) ( ) ( ). b a ∫ f ′ x dx f b f a = − 则 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 25. 证明函数 ( (0) 0) 1 ( ) sin 2 2 = f = x f x x 在[0, 1] 上处处可导, 但不是绝对连续的. 提示: 考察 f ′(x) 在[0, 1]上的可积性