·208 智能系统学报 第7卷 很多正域与反域是一种等价的均衡关系，数学 的，因此对正反2个域上都成立的命题，不再用上标 理论上、物理理论上的矛盾域多是等价的.因此，讨 +α、-来区分这2个域，而上标只标为a,或者与 论正域与反域上等价的逻辑关系具有重要意义， 经典逻辑公式一样不标.如A“→(B+A“)和A→ 定义1若有一个正世界个体域+α={t1,t2, (B→4)在正反2个域上都成立，这2个表示的是一 …,n},通过某种反变关系∫，所得到一个新的反变 个意思 世界个体域-a={f(t1),f(t2),…,f(tn),且≠ 正域和反域往往不是对立的，它们中间还可能 f(),在+α中的元素都具有性质P,即命题P(t) 有一个既具备正域性质又具备反域性质的中间域， 成立；在-《中的元素都具有性质P,即命题 如正数和负数中间有中间数0. P[f代t)]成立.把+a叫做正域，-a叫做反域，反 在正域和反域中，若存在某些个体k,k2,… 域也记为-={t1,t2,…,tn. kn,通过某种反变关系f,有f代k)=k:,则把个体k1, 在定义1中，+：与-α是对等关系（均衡的、 k2,…,k所形成的集合叫做关于映射f的不动域， 同构的或可翻译的) 记为+e={1,k2,…,knf,-e={f(k),f(k2),… 在以上概念的基础上，把矛盾命题重新进行形 fkn)}.由于f(k1)=k1,f(h2)=k2,…,f(kn)=kn, 式化描述如下. 所以+e={k1,2,…,kn}={f(k1),f(k2),…, 1)A:在欧氏几何领域，过已知直线外一点，只能作 f(kn)}=-e. 惟一条直线与已知直线平行，形式描述为A+“, 定义3对于一个正域+a={1,2,…,t}与反 2)非A:在非欧几何领域，过已知直线外一点， 域-a={f(t1)f(t2),…f(n)}上的反变关系f,若 并非只能作惟一一条直线与已知直线平行，形式描 存在某些个体k,2,…,k,通过反变关系f,有 述为A“. 代k)=k:,则把个体k1,k2,…,压n所形成的集合叫做 A*“表示正域+α中的命题A,Aa表示反域-a 关于映射f的不动域，统一记为 中的命题A,即在非欧几何领域，过已知直线外一 e=+e=-e={k1,k2,…,kn}= 点，只能作惟一一条直线与已知直线平行.A“表 {f(k),fk2),…fk). 示反域-a中的命题A,A“表示正域+α中的命 例2若f代x)=-x,则正数领域、负数领域关 题A,即在欧氏几何领域，过已知直线外一点，并非 于映射f(x)=-x的不动域是e={0. 只能作惟一一条直线与已知直线平行.这样，矛盾命 A是集合α上的命题，A*“、A“、A°分别是正 题都有2种表示方式. 域命题、反域命题和不动域命题 定义2在相同域上的否定命题A与A“(即 不动域是从正域到反域的映射过程中保持原地 Aa与A+“或A“与A“),称之为经典矛盾命题； 不变的所有个体形成的集合，不动域既具备正域性 在不同域上的否定命题(A+a与A“或A“与 质，又具备反域性质.在不动域中P(k)与P[(k)] A*“),称之为非经典矛盾命题或辩证矛盾. 相互否定，即自身与自身相互否定，不动域与不动点 实际上，矛盾命题在不同域上成立，矛盾也就被 相类似，函数的不动点，在数学中是指被这个函数映 化解了，辩证矛盾就是已经被化解或者解释清晰后 射到其自身的一个点，设∫是从x到x的一个映射 的矛盾. 或运动，把每一点x移到点f(x).方程f(x)=x的解 由于公式的变化，公理在不同域中有些变化，经 恰好就是在∫这个运动下被留在原地不动的点，故 典逻辑公理4]在正域中变为： 称不动点.不动点就是自指代方程的解5， 1)A*a→(B+a+A*); 例3设在平面上给定一个以0为中心，R为 2)(A*a→(B*a→C*a))→((A*a→B*a)→ 半径的圆C,P是平面上异于点O的任一点，在射线 (A*a→C*a); OP上，考虑其中一点P'满足OP·OP'=R,称P'为 3)(A+a→B*a)→((A*a→B+a)→A+a). P的反演点，将点P变到点P'的过程称为反演变 经典逻辑公理在反域中对应变为： 换.反演变换是一个关于圆的对称变换，容易证明， 1)A4→(B-a+A); 圆外的每一点P通过变换对应于圆内的每一点P, 2)(Aa→(B→C-a)→((Aa→B-a)→ 圆心O对应于平面上无穷远点，圆上的点对应它自 (Aa→Ca)); 己，即圆上的点是关于反演变换的不动点。 3)(Aa→Ba)→((Aa+Ba)Aa) 因此，正域与反域是关于某个映射∫的对称变 由于经典逻辑的公理在正域和反域上都是成立 换，+中的项t对应-a中的项t,不动域中的项