第3期 张金成：容纳矛盾逻辑系统与悖论 ·207· 容纳矛盾的逻辑， 作2条直线与已知直线平行 目前有关容纳矛盾的逻辑的形式系统有很多， 3)黎氏平行公理V:过直线外一点，不可以作 如美国逻辑学家R.Brandom的不协调逻辑、澳大利 直线与已知直线平行 亚学者Priest的悖论逻辑、巴西逻辑学者Da Costa的 以上3种相互矛盾的平行公理与绝对几何公理 次协调逻辑2] 体系结合，可以产生3种相互矛盾的几何，即欧氏几 在对待矛盾的形式处理上，不同的逻辑也有不 何、罗氏几何和黎氏几何.用V表示平行公理的否 同的处理方式，他们都以小心谨慎的态度改造经典 定命题，在绝对几何公理体系中，Π长V,且ΠH 数理逻辑.但是为了容纳矛盾，其逻辑系统的人造成 V,V在Π中是不可判定命题，即第5公理在绝对 份太多，并不是对自然界和人类思维领域本身应有 几何体系中是独立的例 的矛盾规律的发现，他们所建立的形式系统还是探 欧氏几何与非欧几何可以分别表示为ΠU 索性的、初步的和不成熟的， {V}=I,Ⅱ，Ⅲ，N,V欧氏几何公理体系、ΠU 笔者认为在数学、逻辑中容纳矛盾这种方案是 {V}={I,Ⅱ，Ⅲ，V,V{非欧几何公理体系 正确的，只要建立起正确的形式系统，就可以建立一 欧氏几何公理体系ΠU{V}={I,Ⅱ，Ⅲ，V,V} 个容纳矛盾的数学基础.无论是不协调逻辑、超协调 的内部是相容的，非欧几何公理体系ΠU{V}三 逻辑，还是次协调逻辑，这些逻辑系统仅仅能容纳矛 {I,Ⅱ，Ⅲ，V,V的内部也是相容的.但是ΠU 盾，不能彻底解决矛盾，这是因为这些逻辑系统在矛 {V}与ΠU{V{是矛盾的，所以ΠU{V}与 盾的本质规律的形式表述上是不精确的.本文在对 ΠU{V}不能合并在一起，它们分别处于2个不 欧氏几何与非欧几何的矛盾进行研究的基础上，提 同的领域，即欧氏几何领域与非欧几何领域.从这里 出一个容纳矛盾的新系统S. 可以看到，矛盾可以在不同的领域成立 1.2相互矛盾的系统 欧氏几何学、罗氏几何学、黎曼几何学是3种互 19世纪初，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在试图 有区别的几何学，这3种几何学各自所有的命题都构 证明欧氏几何的第5公理（平行公理）时，发现了 成了一个严密的公理体系，各公理之间满足一致性、 “平行公理”既不能被证明，也不能被否证，欧氏几 完备性和独立性，因此这3种几何学都是正确的. 何平行公理是独立的，从而发现了一种全新的几 从罗巴切夫斯基、黎曼创立的非欧几何学中，可以 何—非欧几何（罗氏几何）.后来，德国数学家黎 得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互 曼又发现了另一种非欧几何—黎氏几何. 相不矛盾的一组假设都有可能提供一种新的理论. 非欧几何与欧氏几何相比，具有如下特点： 般地，用A表示矛盾的正命题，A表示矛盾 1)欧氏几何与非欧几何有几条公理是相同的； 的反命题，以上A与A是一种相互矛盾的否定方 2)欧氏几何与非欧几何有1条公理是相矛盾的： 式，但它们能在不同的条件下成立，这种可以在不同 3)欧氏几何与非欧几何内部是相对一致的，但 条件下成立的思维方式，称它为辩证矛盾思维.它正 是欧氏几何与非欧几何之间是相矛盾的； 是非欧几何产生的思维方式，其本质是研究不同领 4)欧氏几何与非欧几何是相互翻译的，即欧氏 域中相互否定的命题的表示和逻辑规律. 几何与非欧几何是同构的， 1.3正域、反域与不动域 类似于非欧几何产生的例子，在科学界还有很 把一个原命题成立的领域叫做正域，而把相对 多，具有一般的规律性，这种思维方式很值得研究， 于正域之外的其否定命题成立的领域叫做反域 本文试图把这种思维方式一般化，抽象出一般的思 例1正数领域、实数领域、欧氏几何领域叫做正 维公理，模拟其思维过程，建立一个新的逻辑系统 域，则负数领域、虚数领域、非欧几何领域叫做反域 人们知道，欧氏几何由5组公理组成：结合公理 正域与反域是什么关系？正数领域与负数领域 I18、顺序公理Ⅱ14、合同公理Ⅲ-5、连续公理 可以一一对应；实数领域和虚数领域也可以一一对 V,-2和平行公理V.其中I~V称为绝对几何公 应；欧氏几何领域和非欧几何领域可以相互翻译等 理体系，记为绝对几何公理体系Π={I,Ⅱ，Ⅲ， 等.通过分析可知，一般现实情况下，正域与反域是 V}.平行公理有以下3种： 一种此消彼长的不等价关系，这是因为矛盾的双方 1)欧氏平行公理V:过已知直线外一点，只能 发展不均衡，某一方处于缺损状态；但在理想状况 作惟一一条直线与已知直线平行. 下，正域与反域之间的关系是：性质相反，一一对应 2)罗氏平行公理V:过直线外一点，至少可以 的两个同构世界