mF(x)=mP{三 e 2 dt 定理的证明从略。 该定理我们通常称之为林德贝格勒维( Lindeberg-Lewy)定理 corollary4.2设相互独立的随机变量X1,X2…,Xn服从同一分布,已知均值为H,方差 为a2>0.单分布函数未知,当n充分大时,X=∑X近似服从正态分布Nm(oVm)2) (Let XX2, .,Xn, . be a sequence of independent and identically distributed random variables, with mean u and variance 0>0. While the distribution function is unknown, and n is large, then X=>X is a normal approximation distribution N(nu, (on)2). Corollary 443设相互独立的随机变量X1,X2…,X,服从同一分布,已知均值为4,方 差为a2>0.单分布函数未知,当n充分大时,=∑X近似服从正态分布N((P=) (LetX12X2…,Xn,…be identically dis variables, with mean u and variance o>0. While the distribution function is unknown, and n is large, then d= I >X is a normal approximation distribution N(u, (G-)2)) 由推论43知,无论X1,X2,…,X是什么样的分布函数,他的平均数X当n充分大时总 是近似地服从正态分布 Example42某单位内部有260部电话分机,每个分机有4%的时间要与外线通话,可 以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的,问总机需备多少条外线才能95%满足每个 分机在用外线时不用等候 1第k个分机要用外线 Solution令Xx 0第k个分机不要用外线 (k=12,…260),X1,X2,…,X20 是260个相互独立的随机变量,且E(X1)=0.04,m=X1+X2+…+X2表示同时使用外 线的分机数,根据题意应确定最小的x使P{m<x}≥95%成立。由上面定理,有 260p 260p r 260p(1-p)√260p(1-p) 查得Φ(165)=09505>0.95,故,取b=1.65,于是 x=b260p(1-p)+260p=165×√260×004×09+260×04≈1561 也就是说,至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候 Example4.3用机器包装味精,每袋净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克, 箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率 Solution设一箱味精浄重为X克,箱中第k袋味精的净重为Xk克,k=1,2,…,200 x1,X2,…,X20是200个相互独立的随机变量,且E(X)=100,D(x)=100 E(X)=E(X1+X2+…+X2m)=20000)=20000100251   − − = → → =                − = x t n k k n n n x e dt n X n F x P 1 2 2 2 1 lim ( ) lim    .) 定理的证明从略。 该定理我们通常称之为林德贝格-勒维(Lindeberg-Levy)定理。 Corollary 4.2 设相互独立的随机变量 X X Xn , , , 1 2  服从同一分布，已知均值为  ，方差 为 0 2   .单分布函数未知，当 n 充分大时， = = n k X X k 1 近似服从正态分布 ( ,( ) ) 2 N n  n . (Let X1 , X2 ,  , Xn ,  be a sequence of independent and identically distributed random variables，with mean  and variance 0 2   .While the distribution function is unknown，and n is large，then = = n k X X k 1 is a normal approximation distribution ( ,( ) ) 2 N n  n .) Corollary 4.3 设相互独立的随机变量 X X Xn , , , 1 2  服从同一分布，已知均值为  ，方 差为 0 2   .单分布函数未知，当 n 充分大时, = = n k X k n X 1 1 近似服从正态分布 ( ,( ) ) 2 n N   . (Let X1 , X2 ,  , Xn ,  be a sequence of independent and identically distributed random variables，with mean  and variance 0 2   .While the distribution function is unknown，and n is large，then = = n k X k n X 1 1 is a normal approximation distribution ( ,( ) ) 2 n N   .) 由推论 4.3 知，无论 X X Xn , , , 1 2  是什么样的分布函数，他的平均数 X 当 n 充分大时总 是近似地服从正态分布。 Example 4.2 某单位内部有 260 部电话分机，每个分机有 4%的时间要与外线通话，可 以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能 95%满足每个 分机在用外线时不用等候? Solution 令 ( 1,2, ,260) 0 1 =     = k k k X K 第 个分机不要用外线 第 个分机要用外线 ， 1 2 260 X , X ,  , X 是 260 个相互独立的随机变量，且 E(Xi ) = 0.04，m = X1 + X2 ++ X260 表示同时使用外 线的分机数，根据题意应确定最小的 x 使 P{m  x}  95% 成立。由上面定理，有 − −          − −  − −  = b t e dt p p x p p p m p P m x P 2 2 2 1 260 (1 ) 260 260 (1 ) 260 { }  查得 (1.65) = 0.9505  0.95 ，故，取 b =1.65 ，于是 x = b 260p(1− p) + 260p =1.65 2600.040.96 + 2600.04 15.61 也就是说，至少需要 16 条外线才能 95%满足每个分机在用外线时不用等候。 Example 4.3 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为 100 克，标准差为 10 克， 一箱内装 200 袋味精，求一箱味精净重大于 20500 克的概率。 Solution 设一箱味精净重为 X 克，箱中第 k 袋味精的净重为 X k 克， k = 1,2,  ,200 . 1 2 200 X , X ,  , X 是 200 个相互独立的随机变量，且 E(Xk ) =100,D(Xk ) =100 ， E(X) = E(X1 + X2 ++ X200 ) = 20000,D(X) = 20000, D(X) =100 2