Vol21 No.2 李擎等：一种新的混沌识别方法 ·199· 子，被识别信号为随机信号. 仿真验证，发现尽管m值已经很大，但系统的 1.2G-P算法的改进 D(m)值仍不饱和，从现象上看信号是随机的，而 G-P算法在实际的应用过程中存在着许多问 实际上该信号为混沌信号.主要原因就在于各线 题，其中最主要的有B.:(I)dX,X)的求取包含 性段D(m)值的计算和比较没有在相同的尺度下 了很多重复计算，耗费了大量的机时.(2)无标度 进行. 区，也就是曲线线性段的选取缺乏客观标准，当 2.2对G-P算法新的改进 无标度区较窄且又无明显边界时，肉眼难以准确 (1)改进算法的原理. 分辨无标度区的上下限.(3)即便判断出了每条曲 首先进行一些符号的约定：将nCm(r)一nr 线的无标度区，也很雄通过计算客观地判断这些 图中各曲线上的点依次编号为1,2，…，N.对应的 线性区是否平行，即判断D(m)值是否达到饱和. 坐标为： 针对(1)(2)两个问题，文献[3]对G-P算法进 uxm)=Inr)(m) 行了改进，具体的改进方法如下： (m,=2,3,…,Mj=1,2,…,N0 (1)针对欧氏距离计算量大这一问题，他们引 V(m)=Inca()) 人了另外2种距离公式： (10) 分-4)- 其中：M为允许的最大嵌入维数，N为每条曲线上 (8) 的点数 9=d,(化X=max{+r-x+r:0≤l≤m-1}(9) 当嵌人维数为m时，将曲线中第k个点和第 由文献[4]可知，这3种距离互相拓扑等价， (1≤k≤1≤)个点之间的点作线性拟合，所 它们都给出了欧氏空间的通常拓扑.因此，使用 得拟合直线的斜率记为D(m).定义： 这3种距离实质相同，结果都将J(m)嵌人Rm △Dm,)=D+(m)-Dm) 中，但选d,d,计算量较小.他们还给出了计算这 (1≤k≤I≤Nm=2,3,…,M0 2种距离的递推公式，运用这些递推公式可以大 为拟合直线的斜率差， 大加快运算速度，节约机时， 首先计算AD,(m,)2≤1≤M.由几何知识可 (2)针对无标度区的确定缺乏客观性这一问 知：当△Dm)(2≤1≤)较大且△D.+(m), 题，提出了用3段折线来拟合(nr,nC(r)点，使 <AD.(m)时，说明第1+1个点和前1个点的 总体误差达到最小的优化方法， 线性相关性不好，第！+1个点就可以看成两条 拟合折线的分界点.根据nCm(r)-nr图中各曲 2新的G-P改进算法 线的实际情况，我们采用3段折线来拟合图中的 2.1G-P改进算法的不足 (nr,lnCn(r)点，那么使左右两端△D,(2≤I≤ 汪富泉等人的算法)虽然对G-P算法存在的 M达到最大值的l,(m),I,(m)两点肯定是3条线 (1),(2)两个问题进行了改进，但仍存在以下2个 段的分界点.l(m),l,(m)之间的点构成了所要求 问题. 的无标度区.用该方法确定的无标度区，仅需要 (1)计算量较大.如果图中有M条曲线，每条 进行N次直线拟合运算，计算量大大地减小， 曲线由N个点组成，那么改进算法需要进行 确定了每个m,对应的无标度区后，只有将它 M(N-3)(W-2)/2次直线拟合运算.特别当曲 们统一到相同的无标度区，才能客观地进行 线中点的步长较小，导致N值较大时，计算量问 D(m,)的计算和比较，从而判断D(m)值是否饱 题将不得不加以考虑. 和.为此，提出了一种统一无标度区的方法：设1 (2)改进算法仅仅适用于某一条曲线线性区 m,)马(m)两点对应的坐标为(，")和 的确定，而不能用于多条曲线D(m)值是否饱和 (g"小.找出ym,=2,3,,M中的最大 的判断.具体原因如下：由于各条曲线的无标度 值，记为y找出vm,=2,3,,M中的最 区不同，使得各线性段D(m)值的计算和比较无 小值，记为y:将各个m,对应曲线中纵坐标在 法在相同的尺度下进行，所以很难判定D(m)值 '4m和之间的点作线性拟合，所得直线的斜 是否饱和. 率即为D(m).根据D(m,)是否饱和就可以判定该 我们采用G-P改进算法对Lorenz系统进行 信号是混沌的还是随机的V 0 L2 1 N 0 . 2 李擎等 : 一种新的混沌识别方法 子 , 被识 别信号 为 随机信号 . 1 . 2 G 一 P 算法 的改 进 12 G 一 P 算 法 在实 际 的应 用过程 中存 在着 许多 问 题 , 其 中最 主 要 的 有 L , ’ ` , : (l d) 试 , 尤) 的 求 取 包 含 了 很多 重 复计算 , 耗 费 了 大 量 的机 时 . ( 2) 无 标 度 区 , 也就 是 曲线线性 段 的 选 取 缺 乏 客观 标 准 , 当 无标度 区 较 窄且又 无 明 显边 界 时 , 肉 眼难 以 准 确 分辨无 标度 区 的上 下 限 . (3) 即便判 断 出 了每条曲 线 的无标度 区 , 也很 难 通 过计算 客观 地 判 断这 些 线 性 区是 否 平行 , 即判 断 D (m ) 值是否 达到 饱和 . 针 对 ( 1) (2 ) 两 个 问题 , 文 献 〔3] 对 G 一 P 算 法 进 行 了 改进 , 具体 的改进 方法 如下 : ( l) 针 对欧 氏距离 计算 量大 这 一 问题 , 他们 引 人 了另外 2 种距离公 式 : ·忿 , 一 d ,试 , 再) 一 芝 ` 1 · , + , : 一 : 十 , ; } ( 8 ) i = 0 弓: ,一 d Z试 , 、 ) 一 m ax { } x ` 十 , ; 一 、 + , : } : o 二 ,二 m 一 l } ( 9 ) 由文 献 4[ ]可 知 , 这 3 种距 离互 相 拓 扑 等价 , 它 们都 给出 了 欧 氏空 间 的通 常 拓 扑 . 因此 , 使用 这 3 种 距 离 实 质 相 同 , 结 果 都 将 J (m ) 嵌 人 R 旧 中 , 但 选 d l , 凡计算 量 较 小 · 他们还 给 出 了计算 这 2 种 距离 的 递推公 式 , 运 用这 些 递 推公 式 可 以 大 大加 快运算速 度 , 节约机时 . (2 ) 针 对无 标度 区的确 定 缺乏 客观 性 这一 问 题 , 提出 了用 3 段 折线来拟合 (inr , nI c 。 (r) ) 点 , 使 总体误差达 到最 小 的优化方法 . 2 新的 G 一 P 改进 算法 2 . I G 一 P 改 进算法 的不足 汪 富泉等 人的算 法 3[] 虽然对 G 一 P 算法存在 的 ( 1) , (2 )两个 问题进行 了 改进 , 但仍存在 以 下 2 个 问题 . l( )计算 量 较 大 . 如果图 中有 M 条 曲线 , 每条 曲 线 由 N 个 点 组 成 , 那 么 改 进 算 法 需 要 进 行 斌刃 一 3) N( 一 2) / 2 次 直线 拟合运 算 . 特 别 当曲 线 中 点 的步 长 较小 , 导 致 N 值 较 大 时 , 计算 量 问 题将不得 不 加 以 考 虑 . (2 ) 改进算 法仅仅适 用 于某 一 条 曲线 线性 区 的 确 定 , 而 不 能 用 于 多 条 曲线 D (m ) 值 是 否 饱 和 的 判 断 . 具体原 因如 下 : 由 于各 条 曲线 的无 标 度 区 不 同 , 使得 各 线 性 段 D m( ) 值 的计 算 和 比较 无 法 在相 同 的尺 度 下 进 行 , 所 以 很 难 判 定 D ( m ) 值 是 否 饱和 . 我 们 采 用 G 一 P 改 进 算法 对 L or en z 系统 进 行 仿 真 验 证 , 发 现 尽 管 m 值 已 经 很 大 , 但 系 统 的 D ( m ) 值 仍 不饱 和 , 从现 象 上 看信 号是 随机 的 , 而 实 际上 该信 号 为混 沌 信号 . 主 要原 因就 在 于各 线 性 段 D (m ) 值 的计算和 比 较没 有 在相 同 的尺度 下 进 行 . .2 2 对 G 一 P 算法新的改进 ( l) 改进算法 的原理 . 首先 进 行 一些 符 号 的约 定 : 将 in c , ()r 一 nrI 图 中各曲线上 的点依次编号 为 l , 2 , … , N . 对应 的 坐标 为 : { 、 用 , 一 ` n rj ( . ) I vj (。 , 一 。 二 (。 ( , ) ) (m `一 2 , , , 一 、 ; , 一 1 , 2 , … , 、 ( 10 ) 其 中 : M 为允许 的最 大嵌 人维数 , N 为每 条曲线上 的点数 . 当嵌人 维 数为 m ` 时 , 将 曲线中第 k 个点和 第 l(1 5 k 5 1 5 扔 个点 之 间 的 点作 线性 拟合 , 所 得 拟合直线 的斜率记为刀认m 户 · 定 义 : 幼试m 户= 几 , , + : (m 户一 几式m 户 ( 1 ` k ` l ` 从 m ` = 么 3, ” 间 为拟 合直线 的斜率差 . 首 先计算幼试m )(t 2 ` 1 5 扔 · 由几 何知 识 可 知 : 当` : , ( m i) ( 2 “ ` 扔 较大 且 }` 卜 , 十 ; ( m ` ) } , < }“ , . 式m , { 时 , 说明第 , + 1个点 和前 , 个点 的 线性相 关性 不 好 , 第 I + l 个点 就 可 以 看 成 两条 拟合折线的分界点 . 根 据 in C 。 (r ) 一 nrI 图 中各曲 线的实 际情 况 , 我们 采用 3 段 折线 来 拟 合 图 中的 (nrI , nI c 。 ()r ) 点 , 那 么 使左 右 两 端 DA , , (2 ` l ` N) 达 到最 大值 的 1 1 (m ` ) , 1 2 ( m 夕两 点肯 定 是 3 条 线 段 的分 界点 · 人(m ,) 1 2 m( 户之 间 的点 构成 了 所要 求 的 无 标度 区 . 用 该方 法 确 定 的 无标 度 区 , 仅需 要 进行 N 次直 线拟合 运算 , 计算量 大大 地减小 . 确定了每个 m ` 对应 的无标度区 后 , 只有将它 们 统 一 到 相 同 的 无 标 度 区 , 才 能 客 观 地 进 行 D (m ` ) 的 计 算 和 比较 , 从而 判 断 D m( ) 值是 否 饱 和 · 为此 , 提 出了 一 种 统 一 无 标 度 区 的 方 法 : 设人 ( m , ) , 几(m , ) 两 点 对 应 的 坐 标 为 ( u , , 、 。 , , vl , (。 ) ) 和 ( u 、 ( , , , vlz ( , 户 · 找 出 v , ; , , (m , 一 2 , 3 , 一 间 中的最大 值 , 记 为找, ) · 找 出 v 伽 ) (m ` 一 么 3, 一 哟 中的最 小值 , 记 为 与 . , · 将 各 个 m , 对应 曲线 中纵坐 标在 ` ,加 ) 和 与 , , 之 间的 点作线性 拟合 , 所 得 直线 的斜 率 即 为D (m 户 · 根 据 D ( m 户是否 饱和 就 可 以 判定 该 信号是 混 沌 的还 是 随机 的