D0I:10.13374/j.issn1001053x.1999.02.057 第21卷第2期 北京科技大学学报 Vol.21 No.2 1999年4月 Journal of University of Science and Technlogy Beijing Apr.1999 一种新的混沌识别方法() 李擎郑德玲，赵星浩刘东方 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要为了识别混沌信号和随机信号，针对GP算法及其改进算法的不足，提出了一种新的改 进算法.该算法不仅能简化无标度区的确定过程，而且能客观地判断系统的关联维数是否饱和。 仿真结果表明，新的改进算法对于混沌信号的识别是有效的. 关键词混沌识别：GP算法；无标度区 分类号TP18.2 由于混沌系统具有内在的不确定性，单从时 间序列的角度来看，混沌信号很难和随机信号区 C.0=p1NN-11之-) (3) 别开来.但在许多控制问题中，需要对这2种信号 式中，H是Heaviside函数，其表达式为： 加以区分，以便采取不同的控制策略， x>0 对混沌信号的识别可以通过计算其功率谱、 Hx)=10 (4) x≤0 分维数以及李雅普诺夫指数来完成，其中比较经 典的方法是Grassberger和Procaccia于1983年提 显然，C()是一个累积分布函数，它描述了 出的G-P算法山. 相空间中吸引子上2点之间距离小于，的概率， 刻划了相对于相空间某参考点X在内的相点聚 1G-P算法及其改进 集程度.若r选得太小，以致于d(X,X)都比r大， 则Hx)=0,求和后C(r)=0,表示相点分布在r 1.1关联维和G-P算法川 范围之外；若r选得太大，以致d(X,X)都比r小， Grassberger和Procaccia根据嵌人定理和重 则H(x)=1,求和后C()=1,这势必反映不了系 建相空间思想，提出了从时间序列直接计算关联 统的内部性质.一般来说，r的取法要使得0≤ 维数的算法，即G-P算法， Cm(r)≤1才有意义. 设{xk=1,2,…,是观测某一系统得到 Grassberger和Procaccia证明，对充分小的r, 的时间序列，将其嵌入到m维欧氏空间R"中，得 关联函数逼近下式)： 到一个点（向量）集J(m),其元素记作： InC(r)InC-D(m)Inr (5) X(m,t)=x+m) 因此，R中的子集J(m)的关联维数为： n=1,2,…,Nn (1) 其中：π=k41是固定时间间隔，即时间延迟，△t inC(r) D(m)=-lim- o dlnr (6) 是2次相邻采样的间隔，k是整数； 当D(m)不随相空间维数m的升高而改变时，它 N=N-(m-1)x. 的值为： 从这Nn个点中任意选定一个参考点X,计算 其余Nm一1个点到X的距离. D.limD(m) (7) m40 称为动力学系统吸引子的关联维数， 在实际的计算中，所采取的步骤见文献[2]. 对所有X=1,2,…,Nn)重复这一过程，得到 一般情况下，D(m)是否饱和可以用来识别一 关联积分函数： 个信号究竞是混沌的还是随机的，如果D(m)饱 1998-06-03收稿李擎男，27岁，博士生 和，说明该系统存在吸引子，被识别信号为混沌 *国家自然科学基金资助课题(N0.69772014) 信号；若D(m)不饱和，说明该系统不存在吸引
第 21 卷 1 9 9 9年 第 2期 4月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l o f U n i v e r s i yt o f S e i e n e e a n d T e e h n l o gy B e ij in g V o l 一 2 1 A p .r N O 一 2 1 9 9 9 一种新的混沌识别方 法 (1) 李 擎 郑德玲 赵星 浩 刘 东方 北京科技大学信息工程 学院 , 北京 10 0 0 83 摘 要 为 了识别 混沌信号和 随机信 号 , 针对 G 一 P 算法及其改进算法 的不足 , 提出 了一种新 的改 进算法 . 该算 法不仅 能简化 无标度 区 的确定过程 , 而 且能客观 地判 断系统 的关联维数是 否饱和 . 仿真结果表 明 , 新 的改进算法对于混沌信号的识别是有效的 . 关键词 混沌识别 ; G 一 P 算 法 ; 无标度 区 分类号 T P 18 .2 由于 混沌 系 统具有 内在 的不 确定 性 , 单从时 间序列 的 角度 来看 , 混 沌 信号很 难 和 随机 信号 区 别 开来 . 但在 许多 控 制 问题中 , 需要 对 这 2 种 信号 加 以 区分 , 以 便采 取 不 同的控 制策 略 . 对混沌 信号 的识 别 可 以 通 过 计算 其 功率谱 、 分 维 数以 及 李 雅 普 诺夫指 数来 完成 , 其 中 比 较经 典 的方 法 是 o r a s s b e 飞 e r 和 P r o c a e e i a 于 19 8 3 年提 出的 G 一 P 算 法 川 . .N 嗽)r 一 2[/ 戈-(N 一 l )] 艺 (rH 一 j)rt ( 3 ) i , l , j > i 式 中 , H 是 H ea vi is de 函数 , 其 表达式 为 : 、 ) 一 万 ` 〔0 x > 0 x 三 0 ( 4 ) I G 一 P 算法及其改进 1 . 1 关联维和 G 一 P 算法 川 G r a s s b e嗯 e r 和 p r o e a e e i a 根 据 嵌 人 定 理 和 重 建 相 空 间 思 想 , 提 出 了从时 间 序列 直 接 计算 关联 维数的算法 , 即 G 一 P 算法 . 设 {x’: k = 1 , 2 , … , 扔 是 观 测 某 一 系 统 得 到 的时 间序 列 , 将 其嵌人 到 m 维欧 氏空 间 R , 中 , 得 到 一个点 (向量 )集J (m ) , 其 元 素记 作 : 弋 (m , : ) = (xn , x 。 , : , 一 气 , ( , 一 : ) r ) n 二 1 , 2, … , 凡 ( l) 其中 : T 二 初 t 是 固 定 时 间 间隔 , 即 时 间 延迟 , △t 是 2 次 相邻采样 的 间隔 , k 是 整数 ; 戈 = N 一 ( m 一 l ) r . 从这 戈 个 点 中任意 选定 一个参考点戈 , 计 算 其余 N 。 一 l 个 点 到 戈 的距离 . 显 然 , c , (r ) 是 一个 累积 分布 函 数 , 它描 述 了 相 空 间 中吸 引 子上 2 点 之 间距 离 小 于 r 的概 率 , 刻划 了相 对于相 空 间某参考 点 茂在 ; 内 的相 点 聚 集 程度 · 若 : 选得 太小 , 以 致 于d试 , 龙) 都 比 r 大 , 则拭 义 ) = o , 求和 后吼 ()r = 0 , 表示 相 点分 布 在 ; 范围之 外 ;若 ; 选得太 大 , 以 致 d试 , 共) 都比 ; 小 , 则拭 义 ) = l , 求 和后吼 (r ) = l , 这 势必反 映不 了系 统 的 内部 性 质 一般 来说 , ; 的 取 法 要 使得 O ` 氏 ()r ` l 才有 意义 . G r a s s b e 飞 e r 和 p or e ac c i a 证 明 , 对充 分小 的r , 关联 函 数 逼近下 式 川 : in 吼( )r = in C 一 D (m ) lnr ( 5 ) 因 此 , R ’ 中的子集 (J m ) 的关联 维数 为 : 刁nI 几()r D (爪 ) = 一 1 1r 0 , 一二二 , 一一一一 。 o 口in 尹 ( 6 ) 当 D ( m ) 不 随 相 空 间 维数 m 的 升高 而 改 变 时 , 它 的值为 : D : = lim D (m ) ( 7 ) 气 , 一 d试 , 再) - m 一 l 艺(x , 、 , : 一 毛 + , : ) i = 0 (2 ) 对所 有 X ` i( = 1 , 2 , … , 戈 )重 复 这 一过 程 , 得 到 关联 积分函数 : 19 98 一 06 一 3 收稿 李 擎 男 , 27 岁 , 博士 生 * 国 家 自然科学基金资助课题州 。 . 6 9 7 7 2 01 4) 称 为动 力学 系统吸 引子 的关联 维数 . 在 实 际的计算 中 , 所采 取 的步骤见 文献 [21 . 一 般情 况下 , D ( m ) 是否 饱和 可以 用来识别 一 个 信号 究 竟是 混 沌 的还 是 随机 的 . 如 果 D (m ) 饱 和 , 说 明该 系统 存在 吸 引 子 , 被 识 别 信号 为混 沌 信 号 ; 若 D (m ) 不 饱 和 , 说 明 该 系 统 不 存 在 吸 引 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1999. 02. 057
Vol21 No.2 李擎等：一种新的混沌识别方法 ·199· 子，被识别信号为随机信号. 仿真验证，发现尽管m值已经很大，但系统的 1.2G-P算法的改进 D(m)值仍不饱和，从现象上看信号是随机的，而 G-P算法在实际的应用过程中存在着许多问 实际上该信号为混沌信号.主要原因就在于各线 题，其中最主要的有B.:(I)dX,X)的求取包含 性段D(m)值的计算和比较没有在相同的尺度下 了很多重复计算，耗费了大量的机时.(2)无标度 进行. 区，也就是曲线线性段的选取缺乏客观标准，当 2.2对G-P算法新的改进 无标度区较窄且又无明显边界时，肉眼难以准确 (1)改进算法的原理. 分辨无标度区的上下限.(3)即便判断出了每条曲 首先进行一些符号的约定：将nCm(r)一nr 线的无标度区，也很雄通过计算客观地判断这些 图中各曲线上的点依次编号为1,2，…，N.对应的 线性区是否平行，即判断D(m)值是否达到饱和. 坐标为： 针对(1)(2)两个问题，文献[3]对G-P算法进 uxm)=Inr)(m) 行了改进，具体的改进方法如下： (m,=2,3,…,Mj=1,2,…,N0 (1)针对欧氏距离计算量大这一问题，他们引 V(m)=Inca()) 人了另外2种距离公式： (10) 分-4)- 其中：M为允许的最大嵌入维数，N为每条曲线上 (8) 的点数 9=d,(化X=max{+r-x+r:0≤l≤m-1}(9) 当嵌人维数为m时，将曲线中第k个点和第 由文献[4]可知，这3种距离互相拓扑等价， (1≤k≤1≤)个点之间的点作线性拟合，所 它们都给出了欧氏空间的通常拓扑.因此，使用 得拟合直线的斜率记为D(m).定义： 这3种距离实质相同，结果都将J(m)嵌人Rm △Dm,)=D+(m)-Dm) 中，但选d,d,计算量较小.他们还给出了计算这 (1≤k≤I≤Nm=2,3,…,M0 2种距离的递推公式，运用这些递推公式可以大 为拟合直线的斜率差， 大加快运算速度，节约机时， 首先计算AD,(m,)2≤1≤M.由几何知识可 (2)针对无标度区的确定缺乏客观性这一问 知：当△Dm)(2≤1≤)较大且△D.+(m), 题，提出了用3段折线来拟合(nr,nC(r)点，使 <AD.(m)时，说明第1+1个点和前1个点的 总体误差达到最小的优化方法， 线性相关性不好，第！+1个点就可以看成两条 拟合折线的分界点.根据nCm(r)-nr图中各曲 2新的G-P改进算法 线的实际情况，我们采用3段折线来拟合图中的 2.1G-P改进算法的不足 (nr,lnCn(r)点，那么使左右两端△D,(2≤I≤ 汪富泉等人的算法)虽然对G-P算法存在的 M达到最大值的l,(m),I,(m)两点肯定是3条线 (1),(2)两个问题进行了改进，但仍存在以下2个 段的分界点.l(m),l,(m)之间的点构成了所要求 问题. 的无标度区.用该方法确定的无标度区，仅需要 (1)计算量较大.如果图中有M条曲线，每条 进行N次直线拟合运算，计算量大大地减小， 曲线由N个点组成，那么改进算法需要进行 确定了每个m,对应的无标度区后，只有将它 M(N-3)(W-2)/2次直线拟合运算.特别当曲 们统一到相同的无标度区，才能客观地进行 线中点的步长较小，导致N值较大时，计算量问 D(m,)的计算和比较，从而判断D(m)值是否饱 题将不得不加以考虑. 和.为此，提出了一种统一无标度区的方法：设1 (2)改进算法仅仅适用于某一条曲线线性区 m,)马(m)两点对应的坐标为(，")和 的确定，而不能用于多条曲线D(m)值是否饱和 (g"小.找出ym,=2,3,,M中的最大 的判断.具体原因如下：由于各条曲线的无标度 值，记为y找出vm,=2,3,,M中的最 区不同，使得各线性段D(m)值的计算和比较无 小值，记为y:将各个m,对应曲线中纵坐标在 法在相同的尺度下进行，所以很难判定D(m)值 '4m和之间的点作线性拟合，所得直线的斜 是否饱和. 率即为D(m).根据D(m,)是否饱和就可以判定该 我们采用G-P改进算法对Lorenz系统进行 信号是混沌的还是随机的
V 0 L2 1 N 0 . 2 李擎等 : 一种新的混沌识别方法 子 , 被识 别信号 为 随机信号 . 1 . 2 G 一 P 算法 的改 进 12 G 一 P 算 法 在实 际 的应 用过程 中存 在着 许多 问 题 , 其 中最 主 要 的 有 L , ’ ` , : (l d) 试 , 尤) 的 求 取 包 含 了 很多 重 复计算 , 耗 费 了 大 量 的机 时 . ( 2) 无 标 度 区 , 也就 是 曲线线性 段 的 选 取 缺 乏 客观 标 准 , 当 无标度 区 较 窄且又 无 明 显边 界 时 , 肉 眼难 以 准 确 分辨无 标度 区 的上 下 限 . (3) 即便判 断 出 了每条曲 线 的无标度 区 , 也很 难 通 过计算 客观 地 判 断这 些 线 性 区是 否 平行 , 即判 断 D (m ) 值是否 达到 饱和 . 针 对 ( 1) (2 ) 两 个 问题 , 文 献 〔3] 对 G 一 P 算 法 进 行 了 改进 , 具体 的改进 方法 如下 : ( l) 针 对欧 氏距离 计算 量大 这 一 问题 , 他们 引 人 了另外 2 种距离公 式 : ·忿 , 一 d ,试 , 再) 一 芝 ` 1 · , + , : 一 : 十 , ; } ( 8 ) i = 0 弓: ,一 d Z试 , 、 ) 一 m ax { } x ` 十 , ; 一 、 + , : } : o 二 ,二 m 一 l } ( 9 ) 由文 献 4[ ]可 知 , 这 3 种距 离互 相 拓 扑 等价 , 它 们都 给出 了 欧 氏空 间 的通 常 拓 扑 . 因此 , 使用 这 3 种 距 离 实 质 相 同 , 结 果 都 将 J (m ) 嵌 人 R 旧 中 , 但 选 d l , 凡计算 量 较 小 · 他们还 给 出 了计算 这 2 种 距离 的 递推公 式 , 运 用这 些 递 推公 式 可 以 大 大加 快运算速 度 , 节约机时 . (2 ) 针 对无 标度 区的确 定 缺乏 客观 性 这一 问 题 , 提出 了用 3 段 折线来拟合 (inr , nI c 。 (r) ) 点 , 使 总体误差达 到最 小 的优化方法 . 2 新的 G 一 P 改进 算法 2 . I G 一 P 改 进算法 的不足 汪 富泉等 人的算 法 3[] 虽然对 G 一 P 算法存在 的 ( 1) , (2 )两个 问题进行 了 改进 , 但仍存在 以 下 2 个 问题 . l( )计算 量 较 大 . 如果图 中有 M 条 曲线 , 每条 曲 线 由 N 个 点 组 成 , 那 么 改 进 算 法 需 要 进 行 斌刃 一 3) N( 一 2) / 2 次 直线 拟合运 算 . 特 别 当曲 线 中 点 的步 长 较小 , 导 致 N 值 较 大 时 , 计算 量 问 题将不得 不 加 以 考 虑 . (2 ) 改进算 法仅仅适 用 于某 一 条 曲线 线性 区 的 确 定 , 而 不 能 用 于 多 条 曲线 D (m ) 值 是 否 饱 和 的 判 断 . 具体原 因如 下 : 由 于各 条 曲线 的无 标 度 区 不 同 , 使得 各 线 性 段 D m( ) 值 的计 算 和 比较 无 法 在相 同 的尺 度 下 进 行 , 所 以 很 难 判 定 D ( m ) 值 是 否 饱和 . 我 们 采 用 G 一 P 改 进 算法 对 L or en z 系统 进 行 仿 真 验 证 , 发 现 尽 管 m 值 已 经 很 大 , 但 系 统 的 D ( m ) 值 仍 不饱 和 , 从现 象 上 看信 号是 随机 的 , 而 实 际上 该信 号 为混 沌 信号 . 主 要原 因就 在 于各 线 性 段 D (m ) 值 的计算和 比 较没 有 在相 同 的尺度 下 进 行 . .2 2 对 G 一 P 算法新的改进 ( l) 改进算法 的原理 . 首先 进 行 一些 符 号 的约 定 : 将 in c , ()r 一 nrI 图 中各曲线上 的点依次编号 为 l , 2 , … , N . 对应 的 坐标 为 : { 、 用 , 一 ` n rj ( . ) I vj (。 , 一 。 二 (。 ( , ) ) (m `一 2 , , , 一 、 ; , 一 1 , 2 , … , 、 ( 10 ) 其 中 : M 为允许 的最 大嵌 人维数 , N 为每 条曲线上 的点数 . 当嵌人 维 数为 m ` 时 , 将 曲线中第 k 个点和 第 l(1 5 k 5 1 5 扔 个点 之 间 的 点作 线性 拟合 , 所 得 拟合直线 的斜率记为刀认m 户 · 定 义 : 幼试m 户= 几 , , + : (m 户一 几式m 户 ( 1 ` k ` l ` 从 m ` = 么 3, ” 间 为拟 合直线 的斜率差 . 首 先计算幼试m )(t 2 ` 1 5 扔 · 由几 何知 识 可 知 : 当` : , ( m i) ( 2 “ ` 扔 较大 且 }` 卜 , 十 ; ( m ` ) } , < }“ , . 式m , { 时 , 说明第 , + 1个点 和前 , 个点 的 线性相 关性 不 好 , 第 I + l 个点 就 可 以 看 成 两条 拟合折线的分界点 . 根 据 in C 。 (r ) 一 nrI 图 中各曲 线的实 际情 况 , 我们 采用 3 段 折线 来 拟 合 图 中的 (nrI , nI c 。 ()r ) 点 , 那 么 使左 右 两 端 DA , , (2 ` l ` N) 达 到最 大值 的 1 1 (m ` ) , 1 2 ( m 夕两 点肯 定 是 3 条 线 段 的分 界点 · 人(m ,) 1 2 m( 户之 间 的点 构成 了 所要 求 的 无 标度 区 . 用 该方 法 确 定 的 无标 度 区 , 仅需 要 进行 N 次直 线拟合 运算 , 计算量 大大 地减小 . 确定了每个 m ` 对应 的无标度区 后 , 只有将它 们 统 一 到 相 同 的 无 标 度 区 , 才 能 客 观 地 进 行 D (m ` ) 的 计 算 和 比较 , 从而 判 断 D m( ) 值是 否 饱 和 · 为此 , 提 出了 一 种 统 一 无 标 度 区 的 方 法 : 设人 ( m , ) , 几(m , ) 两 点 对 应 的 坐 标 为 ( u , , 、 。 , , vl , (。 ) ) 和 ( u 、 ( , , , vlz ( , 户 · 找 出 v , ; , , (m , 一 2 , 3 , 一 间 中的最大 值 , 记 为找, ) · 找 出 v 伽 ) (m ` 一 么 3, 一 哟 中的最 小值 , 记 为 与 . , · 将 各 个 m , 对应 曲线 中纵坐 标在 ` ,加 ) 和 与 , , 之 间的 点作线性 拟合 , 所 得 直线 的斜 率 即 为D (m 户 · 根 据 D ( m 户是否 饱和 就 可 以 判定 该 信号是 混 沌 的还 是 随机 的
·200· 北京科技大学学报 1999年第2期 (2)改进算法的步骤. 由表1可以看出，当m,≥11后（限于篇幅，我 stepl::设定允许的最大嵌人维数M. 们仅列出了m,≤19时的关联维数值)，D(m,)趋 step2:应用时间序列重新构造如(1)式所示 于饱和值D,=1.86±0.02，这说明该信号为混沌 的m,维相空间. 信号， step3:依次取若干个（例如a个）不同的， 表1 Lorenz系统的关联维数 值，利用(I0)式算出r与值对应的“和 m D(m)R(mi) mi D(mi)R(m) m,=2,3,…,M=1,2,,W. 1.4720.945 11 1.8420.952 step4:计算△D(m,)(m,=2,3,…,N2≤1≤ 3 1.563 0.953 12 1.855 0.925 N). 1.671 0.942 13 1.860 0.933 1.742 0.946 14 1.863 0.953 step5:找出△D1.(m)=max{△Du(m,:l=2,3, 6 1.776 0.952 15 1.871 0.929 …,N2}(m,=2,3,…,M0对应的1(m,)点. 1.789 0.926 16 1.867 0.935 step6:找出△D.(m)=max{ADm,):l=N/2, 1.795 0.953 17 1.854 0.943 9 1.803 0.936 18 1.856 0.924 N/2+1,…,(m=2,3,…,M0对应的1，(m,)点. 10 1.8200.957 19 1.8580.936 step7:确定l,(m),l,(m,)两点对应的坐标为 (um"和(v,小. 3.2随机噪声序列 step8:确定vm=max {vmim,=2,3,,M. 由于例1中x(P)(P=1001,1002,…,3000) step9:确定vm=min{ymjm,=2,3,,M. 的变化范围为(-16,16)，为了和例1进行比较， step10:将纵坐标在y和a之间的点作 我们产生了一个(-16,16之间均匀分布的随 线性拟合，计算各自的D(m,)(m,=2,3,…,M0值. 机噪声序列y(P)(P=1,2,…,2000).新的G-P改 stepI1:检查D(m)是否达到饱和，如果达到 进算法算出的ym=一4.994，"m=-1.653, 饱和，就可以判定该信号为混沌信号；否则判定 如图2所示.此时计算的D(m)值如表2所示. 该信号为随机信号. 3应用实例 -2 3.1 Lorenz方程 3 -4 [(dx dt)=-ox+ay (dy dt)=rx-y-xz (11) ()"Du 6 (dz/d)）=y-bz -8 当σ=10，r-28.0,b=813时，方程所代表的 -9 -10 是一个混沌系统.将初始值取为(0,1,0)，步 -2-10123 长h=0.01,采用4阶Runge-Kuta法产生一混沌 Inr 时间序列新的G-P改进算法算出的"=- 图2 随机噪声序列的lnC.()小一wr图 5.428,"=-136,如图1所示.此时计算D(m) 表2随机噪声序列的关联维数 的值如表1所示. mi D(m) R(mi) m D(mi) R(m) 2 1.762 0.934 11 8.031 0.953 3 2.963 0.924 农 8.573 0.924 g 3.663 0.937 13 8.947 0.937 5 4.438 0.932 14 9.539 0.919 6 5.013 0.946 15 10.188 0.935 7 5.824 0.953 16 10.637 0.926 6.264 0.961 17 11.043 0.953 -2- 1012345 9 6.832 0.942 伊 11.583 0.928 Inr 107.426 0.934 19 12.173 0.930 图1 Lorenz系统的lnC(r一lor图
. 2 0 0 . 北 京 科 技 大 学 学 报 19 ,年 第2期 由表 l 可 以 看 出 , 当 m ` 之 fl 后 (限于篇幅 , 我 们 仅列 出了 m “ 19 时的 关联 维数值) , D m( , )趋 于 饱和 值 D Z = 1 . 86 士 .0 02 , 这 说明该信号为混 沌 信号 . 表 1 侧m i) 1 . 4 7 2 1 . 5 6 3 1 . 6 7 1 1 . 7 4 2 1 . 7 7 6 1 . 7 89 1 . 7 9 5 1 . 8 0 3 1 . 820 L o er nz 系统的关联维数 (R m i) l m ` 次碱j 几`盆凡,J气4 ù 67 了RO ,且`. 几. ` 1 . . 1 ù 1. ù泊1 . 三1, (2 ) 改进算 法 的步 骤 . st eP :I 设定允 许的最大 嵌人 维数M . st eP :2 应 用 时 间序 列 重 新 构 造 如 (l ) 式 所 示 的 m , 维相 空 间 · set 3P : 依 次 取 若 干 个 (例 如 a 个 ) 不 同 的 几叫 值 , 利 用 ( 10 ) 式 算 出 j(r 。 ` ) 与 值 对 应 的 uj( 叫 和 v,( . , ( m ` = 2 , 3 , ” 一 ;Mj 一 l , 2 , … , N) . s t e p 4 : 计算 △D , , (m , ) (m 户2 , 3 , 一 ;N 2 ` l ` 扔 . , t e p s : 找 出 △D , , , t (m J~ a x {△D , , ( m户 : =1 2 , 3 , 一 , N2/ } (m , = 2 , 3 , … , 间 对 应 的 l , (m ` ) 点 . s t e p 6 : 找 出△D , , 、 (m 户一 m ax {△D I , (m , ) : l 一 N / 2 , 万 / 2 + 1 , … , 玛 (m ` = 2 , 3 , … , 劝 对应 的 1 2 (m ` )点 · s t e p 7 : 确 定 l , (m 〕 , 1 2 (m , )两 点 对应 的 坐 标 为 ( u , . ( 。 , , v , : ( m , ) 和 ( u。 ( 。 ) , vlz ( . , ) · s t e p s : 确 定 vl l ( 二 )一 m ax { v , t * , : m ` 一 2 , 3 , ’ “ , 川 · s t e p g : 确 定 v 。( 。 ) 一 m in { v 、 (。 , : m , 一 2 , 3 , ” ’ , 川 · s t e p l o : 将纵坐 标 在 vl 、 ( , ) 和 v , 2 (。 。 之 间的 点 作 线性 拟合 , 计算各 自的 D (m ,)( m , 二 2 , 3 , … , 川 值 · s t e p l l : 检 查 D (m , ) 是 否 达到 饱 和 , 如 果 达 到 饱 和 , 就 可 以 判 定 该 信 号 为 混 沌 信 号 ; 否 则 判 定 该信 号为 随机信 号 . 3 应用 实例 0 . 9 4 5 0 . 9 5 3 0 . 9 4 2 0 . 9 4 6 0 . 9 5 2 0 . 9 2 6 0 . 9 5 3 0 . 9 3 6 0 . 9 5 7 1 . 842 1 . 8 5 5 1 . 860 1 . 863 1 . 8 7 1 1 . 867 1 . 8 5 4 1 . 85 6 1 . 8 5 8 R(m i) 0 . 95 2 0 . 9 2 5 0 . 933 0 . 95 3 0 . 929 0 . 9 3 5 0 . 94 3 0 . 9 2 4 0 . 9 3 6 成一2 傀J 4 叹ù 6 八,了O l09 3 .2 随 机噪声序 列 由于 例 l 中 x ()P (P = 10 0 1 , 10 0 2 , … , 3 0 0 0 ) 的变 化范围 为( 一 16 , 16 ) , 为 了 和例 1 进 行 比较 , 我 们 产 生 了 一个 ( 一 16 , 16) 之 间均 匀分 布 的 随 机 噪声序 列只)P (P = l , 2 , … , 2 0 0 0) . 新 的 G 一 P 改 进 算 法 算 出 的 v , (。 ) 一 4 · 9 9 4 , v , 2 ( , ) 一 l · 6 5 3 , 如 图 2 所示 . 此时计 算 的 D (m 户值 如表 2 所示 . 3 · 1 L o r e n z 方 程 1 5 1 0 一 1 一 2 一 3 一 4 一 5 一 6 一 7 一 8 一 9 一 1 0 二 一 。 丈 十 ay 仑à才月 = 厂龙 一 y 一 义z = 习 一 b z ( 1 1 ) dxyd dt) r ! 、.t 当a = 10 , : = 2 8 . 0 , b = 8/ 3 时 , 方 程 所 代 表 的 是 一 个 混 沌 系 统 . 将 初 始 值 取 为(0 , 1 , 0) , 步 长 h 二 .0 01 , 采 用 4 阶 R u n ge 一 uK at 法 产 生 一混 沌 时 间 序 列 . 新 的 G 一 P 改 进 算 法 算 出 的 价 ( 。 , 一 5 · 4 2 8 , 长 ( . , 一 13 6 , 如 图 I jfP 示 · 此 时计算 D (m ` ) 的值 如表 l 所示 . 一 4 一 3 一 2 一 1 0 2 3 】刀 厂 图2 随机噪声序列的in .c ()r 一面 图 表 2 随机噪声序 列的关联维数 420 一 艺n 一 仑à三J 一 8 一 1 0 一 4 一 3 一 2 一 1 0 2 3 4 5 】1 . 图 1 L or eu : 系统 的恤几()r 一in , 图 m ` 众 m J R (m J } m ` 伽i) “ (m J 2 1 . 7 62 0 . 9 34 ’ } , ` 8 · 0 , , 0 · , , , 3 2 . 9 6 3 0 . 9 2 4 1 ’ 2 “ · 5 7 3 ” · 9 2 4 4 3 . 6 6 3 0 9 3 7 } ` , “ · 9 4 7 “ · 9 , 7 5 4 . 4 3 8 0 . 9 3 2 } ’ 4 9 · , , 9 ” · 9 , 9 6 5 . 0 13 0 . 9 4 6 } ’ 5 ’ 0 · , 8 8 ” · 9 3 5 7 5 . 8 24 0 . 9 5 3 } ’ 6 ’ o · 6 3 7 ” · 9 2 6 8 6 2 64 0 . 9 6 1 1 ` 7 ` , · 0 4 3 ” · 9 5 , 9 6 . 8 3 2 0 . 9 4 2 } ’ 8 “ · 5 8 3 0 , 2 8 10 7 . 4 2 6 0 . 93 4 } 1 9 12 · 17 3 0 · 9 3 0
Vol.21 No.2 李擎等：一种新的混沌识别方法 ·201· 由表2可以看出，随着m,的增大，尽管在同 (4由表1，表2可以看出，纵坐标在”m和 一无标度区，D(m,)值也一直增大（限于篇幅，我 "m之间的点的相关系数Rm)≥0.90，说明无标 们仅列出了m,≤19时的关联维数值)，这说明该 度区中各点拟合的结果比较理想. 信号是随机的. 仿真结果表明：新的G-P改进算法能快速有 效地识别混沌信号和随机信号， 4结论 参考文献 (1)新的G-P改进算法使无标度区的计算具 有了一定程度的客观性，改进了G-P算法存在的 1 Grassberger P,Procaccia I.Dimension and Entropy of 主观性， Strange Attractors from a Fluctuaing Dynamics (2)如果lnCm(r)一lr图中有M条曲线，每条 Approach.Physica,1984,13D:34 2林振山编，非线性力学与大气科学南京：南京大学出 曲线由N个点组成，原有的改进算法需要进行 版社，1993 M(N-3)(N-2)2次直线拟合运算，而新的G-P 3汪富泉，罗朝盛，陈国光.G-P算法的改进及其应用.计 改进算法仅需要进行MW次直线拟合运算，大 算物理，1993,10(3)：345 大地减小了确定无标度区的计算量. 4江泽涵编著拓扑学引论.上海：上海科技出版社，1978 (3)新的G-P改进算法将nCm(r)一lnr图中各 5仪垂样编著.非线性科学及其在地学中的应用，北京： 曲线的线性段统一到相同的计算区间，这有利于 气象出版社，1995.211 关联维D(m,)的计算及其是否饱和的判定. New Identification Method for Chaos (I) Li Qing,Zheng Deling,Zhao Xinghao,Liu Dongfang Information Engineering School,UST Berjing.Beijing 100083,China ABSTRACT In order to distinguish chaotic signal from stochastic signal,a new improved algo- rithm is proposed to overcome the shortcoming of the G-P algorithm and its improved form.The determination of the no-scale interval is simplified when the new algorithm is used.Moreover,the judgement for the saturation of the correlation dimension is realized objectively.The effectiveness of the new algorithm is illustrated by simulation samples. KEY WORDS identification for chaos;G-P algorithm;no-scale interval
V 0 1 . 2 1 N o . 2 李擎等 : 一种新 的混沌 识别方法 由表 2 可 以 看 出 , 随着 m ` 的增 大 , 尽 管 在 同 一 无标度 区 , D m( 户值也 一 直 增 大 (限 于 篇 幅 , 我 们 仅列 出 了 m “ 19 时的 关联 维数值 ) , 这说明 该 信号是 随机的 . 4 结论 ( l) 新 的 G 一 P 改 进 算法 使无 标度 区 的计算具 有 了一定 程 度 的客 观性 , 改进 了 G 一 P 算 法存在 的 主观性 . (2 )如 果 in 吼 (r) 一in ; 图 中有 M 条 曲线 , 每条 曲 线 由 N 个 点 组 成 , 原 有 的 改 进 算 法 需 要 进 行 域万 一 3) (N 一 2) 2/ 次直线 拟合 运算 , 而新 的 G 一 P 改 进 算 法 仅 需 要 进 行 胭W 次 直 线 拟 合 运 算 , 大 大 地减 小 了确 定无 标度 区 的计算 量 . (3 )新 的 G 一 P 改进 算法 将 in 吼 ()r 一 Inr 图 中各 曲线 的 线 性段 统一 到相 同 的计算 区 间 , 这 有 利于 关联 维 D (m , ) 的计 算及 其是 否 饱 和的判 定 . (4) 由表 l , 表 2 可 以 看 出 , 纵 坐 标在 找 ( , , 和 协 , 之 间的点 的 相 关系 数 (R m户之 0 . 90 , 说 明无标 度 区 中各 点拟合 的结 果 比较理 想 . 仿真 结果 表 明 : 新 的 G 一 P 改进 算 法能 快速 有 效 地 识别混 沌信 号和 随机 信号 . 参 考 文 献 1 G asr s b e gr e r P , Por e a e e i a I . D inr e ns i o n an d E n tr o P y o f Slt . n g e A让ar c ot sr for m a F l u e ut a in g D y n a m i e s A PP or ac h . Ph y s i c a , 19 8 4 , 1 3D : 3 4 2 林 振山 编 . 非线性 力学 与 大气 科学 . 南京 : 南京 大学 出 版社 , 1 9 9 3 3 汪 富泉 , 罗 朝盛 , 陈 国光 . G 一 P 算 法 的改 进及其 应用 . 计 算物理 , 1 9 9 3 , 10 ( 3 ) : 3 4 5 4 江泽涵编著 . 拓扑学引论 . 上 海 : 上 海科 技出版社 , 1 9 7 8 5 仪垂 祥编著 . 非线性科学及其在 地学 中的应 用 . 北京 : 气 象出版社 , 1 9 9 5 . 2 1 1 N e w Id e n t i if c a t i o n M e t h o d fo r C h a o s ( I ) L i Qi n g , hZ e n g D e li n g , I n fo mr at in n E n g in e e inr g S e h o o l , hZ a o iX n 动 a o , L i u D o n gaf n g U S T B e勺 工n g , B e ij in g 10 0 0 8 3 , C h i n a A B S T R A C T 玩 o dr e r ot d i s it n 即i s h e h a o t i e s i g n a l ofr m s ot e h a s t i e s i g n a l , a n e w im p r o v e d a lg o - d比m 1 5 Por Po s e d ot o v e er o m e ht e s h o rt e o m in g o f ht e G 一 p a lg o r it h m a n d i t s 而 P r o v e d fo mr . T h e d e t e n n in a t i o n o f ht e n o 一 s e al e i n t e vr a l 1 5 s lm P liif e d w h e n ht e n e w a lg o ir t h m 1 5 u s e d . M o r e o v e r , ht e j u d g em in fo r ht e s a ot r a t i o n o f ht e e o er l at i o n d加 e n s i o n 1 5 r e a liZ e d o bj e e t i v e l y . T h e e fe e t i v e n e s s o f ht e n ew agl o ir ht m 1 5 illu s tr a t e d b y s im u liat o n s 田叮 P l e s . K E Y W O R D S i d e n it if e a it o n fo r e h ao s ; G 一 P a l g o ir ht m ; n o 一 s e a l e in t e vr a l
