基于判别域界面几何法模式识别的铁路轴承故障诊断

D0I:10.13374h.issn1001-053x.2011.10.020 第33卷第10期 北京科技大学学报 Vol.33 No.10 2011年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2011 基于判别域界面几何法模式识别的铁路轴承故障诊断 唐 英四 李应珍 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:tangydl(@public.3.bta.net.cn 摘要基于最优分类线的概念，提出了一种新的模式识别分类器构建方法一判别域界面几何法.该方法利用BP神经网 络的高度非线性，将模式类样本数据从高维输入空间映射至二维判别域空间后，采用多边形中轴提取方法，构造模式类间隙 多边形的中轴线，延伸至整个二维判别域空间，生成模式类决策边界.以铁路货车车轮用双列圆锥滚子轴承的故障诊断为例， 介绍了判别域界面几何法的应用过程.结果表明，判别域界面几何法能在二维判别域空间上给出各不同故障模式类之间明确 的界限，这就给操作者直观判断故障模式类别提供了条件. 关键词滚动轴承：故障诊断：模式识别：铁路车轮：神经网络 分类号TP206·.3 Railway bearing fault diagnosis with the pattern recognition method of interface geometric discriminant TANG Ying☒，LI Ying--hen School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:tangydl@public3.bta.net.cn ABSTRACT With the concept of optimal classification lines,a pattern recognition method,which uses interface geometric discrimi- nant to generate a pattern classifier,was proposed.Major procedures of the method include:mapping multidimensional inputted char- acteristic vectors of different pattern classes to a 2-dimensional (2D)discriminant space with a BP neural network which is character- ized by its high nonlinear mapping capability,extracting a polygon axis of the polygon which is formed at the interval clearance space among pattern classes,and constructing a decision-making boundary for pattern recognition by extending polygon axes to all discriminat- ing domains.The method was tested in a case study of fault diagnosis for double row tapered roller-bearings used in railway wheels. The result shows that the proposed method can construct decision-making boundaries for different fault patterns on a 2D discriminant space,which provides a condition to operators for intuitive recognition of fault classifications in practice. KEY WORDS roller bearings;fault diagnosis:pattern recognition:railway wheels:neural networks 随着我国铁路提速调度和重载运输的不断发 一般来说，滚动轴承的状态检测与故障诊断过 展，列车部件的故障率有增大的趋势，这给车辆的安 程包含信号采集、特征提取、状态识别、故障分析和 全运行增加了很大压力.我国的车辆安全监测水平 决策干预等五个基本环节.这是一个通过对轴承故 与提速运行之间仍存在较大的矛盾.例如，滚动轴 障症兆的检测，取得特征参数的基本信息，然后进行 承是高速车辆的重要部件，其性能的好坏，直接影响 状态识别，并以此分析故障原因和部位的过程.上 着列车速度的提高及运行安全.目前，轴承故障仍 述五个环节缺一不可，而其中非常关键也较为困难 是车辆运行中的主要故障源之一口.因此，滚动轴 的一环是状态识别.对于滚动轴承，由于它的故障 承的状态检测和故障诊断一直是铁路系统关心的 模式以及故障来源的多样性，人们无法得知它的准 焦点回， 确的数学模型.在得不到准确的系统数学模型时， 收稿日期：2010-10-13

第 33 卷 第 10 期 2011 年 10 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 33 No． 10 Oct． 2011 基于判别域界面几何法模式识别的铁路轴承故障诊断 唐 英 李应珍 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 通信作者，E-mail: tangydl@ public3． bta． net． cn 摘 要 基于最优分类线的概念，提出了一种新的模式识别分类器构建方法———判别域界面几何法． 该方法利用 BP 神经网 络的高度非线性，将模式类样本数据从高维输入空间映射至二维判别域空间后，采用多边形中轴提取方法，构造模式类间隙 多边形的中轴线，延伸至整个二维判别域空间，生成模式类决策边界． 以铁路货车车轮用双列圆锥滚子轴承的故障诊断为例， 介绍了判别域界面几何法的应用过程． 结果表明，判别域界面几何法能在二维判别域空间上给出各不同故障模式类之间明确 的界限，这就给操作者直观判断故障模式类别提供了条件． 关键词 滚动轴承; 故障诊断; 模式识别; 铁路车轮; 神经网络 分类号 TP206 + ． 3 Railway bearing fault diagnosis with the pattern recognition method of interface geometric discriminant TANG Ying ，LI Ying-zhen School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: tangydl@ public3． bta． net． cn ABSTRACT With the concept of optimal classification lines，a pattern recognition method，which uses interface geometric discrimi￾nant to generate a pattern classifier，was proposed． Major procedures of the method include: mapping multidimensional inputted char￾acteristic vectors of different pattern classes to a 2-dimensional ( 2D) discriminant space with a BP neural network which is character￾ized by its high nonlinear mapping capability，extracting a polygon axis of the polygon which is formed at the interval clearance space among pattern classes，and constructing a decision-making boundary for pattern recognition by extending polygon axes to all discriminat￾ing domains． The method was tested in a case study of fault diagnosis for double row tapered roller-bearings used in railway wheels． The result shows that the proposed method can construct decision-making boundaries for different fault patterns on a 2D discriminant space，which provides a condition to operators for intuitive recognition of fault classifications in practice． KEY WORDS roller bearings; fault diagnosis; pattern recognition; railway wheels; neural networks 收稿日期: 2010--10--13 随着我国铁路提速调度和重载运输的不断发 展，列车部件的故障率有增大的趋势，这给车辆的安 全运行增加了很大压力． 我国的车辆安全监测水平 与提速运行之间仍存在较大的矛盾． 例如，滚动轴 承是高速车辆的重要部件，其性能的好坏，直接影响 着列车速度的提高及运行安全． 目前，轴承故障仍 是车辆运行中的主要故障源之一［1］． 因此，滚动轴 承的状态检测和故障诊断一直是铁路系统关心的 焦点［2］． 一般来说，滚动轴承的状态检测与故障诊断过 程包含信号采集、特征提取、状态识别、故障分析和 决策干预等五个基本环节． 这是一个通过对轴承故 障症兆的检测，取得特征参数的基本信息，然后进行 状态识别，并以此分析故障原因和部位的过程． 上 述五个环节缺一不可，而其中非常关键也较为困难 的一环是状态识别． 对于滚动轴承，由于它的故障 模式以及故障来源的多样性，人们无法得知它的准 确的数学模型． 在得不到准确的系统数学模型时， DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2011.10.020

·1294· 北京科技大学学报 第33卷 进行状态识别的一个有效途径是采用模式识别 本正确地分开，而且要使两类的分类空隙最大.前 方法回 者是保证经验风险最小（为零），而使分类空隙最大 常用的模式识别方法有统计模式识别、结构模 实际上就是使推广能力达到最大.推广到高维空 式识别、模糊模式识别、神经网络模式识别和逻辑推 间，最优分类线就成为最优分类面. 理法等0.不同模式识别方法各有自己的特点，各 有适合的最佳应用领域.结构模式识别主要用来解 决具有结构信息的识别问题，模糊识别、逻辑模式识 别适合具有详细和完备先验知识的分类问题，而神 经网络模式识别适合类分布不清楚或比较复杂的问 题.统计模式识别方法则适用于解决具有数值信息 识别问题.在本文中，滚动轴承故障诊断主要是利 用所测得的样本数据进行分类器的设计，并利用此 分类线 分类器对未知故障进行识别，因此选择统计模式识 别方法，并在统计模式识别技术中己有的判别域界 图1最优分类线示意图 面方程法和支持向量机理论的基础上，提出了判别 Fig.I Diagram of optimal classification lines 域界面几何法进行故障诊断 划分各子类区域的最优分类线/面可以用界面 本文以铁路货车车轮用双列圆锥滚子轴承为研 方程来表示，该界面方程又称为判别函数.判别函 究对象，利用所提出的判别域界面几何法进行故障 数包含两大类：线性判别函数和非线性判别函数 诊断.主要过程是：利用振动加速度传感器拾取轴 若把非线性判别函数可分的特征空间映射到另外一 承工作状态信号；在信号的时域和频域进行统计分 个空间，判别函数能变成线性判别函数，则称为广义 析得到的特征参数组成特征向量，并利用BP神经 线性判别函数.任何非线性判别函数总可以变换成 网络高度的非线性映射至二维判别域空间；采用判 广义线性判别函数.支持向量机理论中，可以通过 别域界面几何法，在二维判别域空间生成决策边界， 一个特征映射将输入空间中的线性不可分数据映射 并利用此决策边界进行模式识别.映射至二维判别 成另外一个空间中的线性可分数据的方法，这就是 域空间进行模式识别可为操作者直观判断轴承故障 所谓的核方法) 模式类别提供条件.在上述铁路轴承的状态检测与 根据支持向量机的几何学观点，在线性可分特 故障诊断方法中，信号的时域频域统计分析以及BP 征空间中要将如图2(a)所示的两类模式分开，即是 神经网络算法已为人们所熟知，本文提出了基于判 寻找一个超平面，该超平面为两数据类的凸包之间 别域界面几何法的模式识别方法 最近两个点的连线的平分线，如图2(b)所示图.对 于线性不可分情况，则通过核方法，把输入映射到另 1判别域界面几何法 一个空间中，在新的空间中使用线性支持向量机 统计模式识别理论较完善，方法也很多，虽然表 核方法通过某个核函数来实现由非线性问题到线性 现的方式却各不一样，都采用统计的理论.其中的 问题的转换.目前常用的核函数主要有四类，即 判别域界面方程法能够给出各不同类之间明确的界 Gauss径向基核、多项式核、Fourier核和Sigmoid核. 限，给人直观判断其模式类提供了条件，符合现场操 本文提出的判别域界面几何法采用Sigmoid核函 作人员提出的轴承故障诊断简单、直观的要求.因 数，由BP神经网络实现. 此，本文在判别域界面方程法的基础上，根据支持向 传统的支持向量机是基于两类问题提出的，推 量机理论，提出了一种新的模式识别技术一判别 广到多类分类问题时需要依次两两分类下去，由此 域界面几何法. 形成的两两决策线经适当连接和裁剪形成最终的多 判别域界面方程法和支持向量机的理论基础是 类的分类线，由计算机自动完成非常困难，造成分类 最优分类线的概念5.如图1所示，直线H是正 速度低和推广能力差.本文提出的判别域界面几何 确划分两类样本的分类线，H,和H2为平移H所得的 法借鉴了多边形的中轴线的概念，通过提取模式类 直线，它们分别经过两类样本中距离最近的点.H 间隙多边形中轴线实现了一次构造多类分类边界， 和H2之间的距离叫做两类的分类空隙或分类间隔. 从而提高了多类分类效率.判别域界面几何法决策 所谓最优分类线，就是要求分类线不但能将两类样 边界的构造方法将在下一节进行详细的介绍

北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 进行状态识别的一个有效途径是采用模式识别 方法［3］． 常用的模式识别方法有统计模式识别、结构模 式识别、模糊模式识别、神经网络模式识别和逻辑推 理法等［4］． 不同模式识别方法各有自己的特点，各 有适合的最佳应用领域． 结构模式识别主要用来解 决具有结构信息的识别问题，模糊识别、逻辑模式识 别适合具有详细和完备先验知识的分类问题，而神 经网络模式识别适合类分布不清楚或比较复杂的问 题． 统计模式识别方法则适用于解决具有数值信息 识别问题． 在本文中，滚动轴承故障诊断主要是利 用所测得的样本数据进行分类器的设计，并利用此 分类器对未知故障进行识别，因此选择统计模式识 别方法，并在统计模式识别技术中已有的判别域界 面方程法和支持向量机理论的基础上，提出了判别 域界面几何法进行故障诊断． 本文以铁路货车车轮用双列圆锥滚子轴承为研 究对象，利用所提出的判别域界面几何法进行故障 诊断． 主要过程是: 利用振动加速度传感器拾取轴 承工作状态信号; 在信号的时域和频域进行统计分 析得到的特征参数组成特征向量，并利用 BP 神经 网络高度的非线性映射至二维判别域空间; 采用判 别域界面几何法，在二维判别域空间生成决策边界， 并利用此决策边界进行模式识别． 映射至二维判别 域空间进行模式识别可为操作者直观判断轴承故障 模式类别提供条件． 在上述铁路轴承的状态检测与 故障诊断方法中，信号的时域频域统计分析以及 BP 神经网络算法已为人们所熟知，本文提出了基于判 别域界面几何法的模式识别方法． 1 判别域界面几何法 统计模式识别理论较完善，方法也很多，虽然表 现的方式却各不一样，都采用统计的理论． 其中的 判别域界面方程法能够给出各不同类之间明确的界 限，给人直观判断其模式类提供了条件，符合现场操 作人员提出的轴承故障诊断简单、直观的要求． 因 此，本文在判别域界面方程法的基础上，根据支持向 量机理论，提出了一种新的模式识别技术———判别 域界面几何法． 判别域界面方程法和支持向量机的理论基础是 最优分类线的概念［5--6］． 如图 1 所示，直线 H 是正 确划分两类样本的分类线，H1和 H2为平移 H 所得的 直线，它们分别经过两类样本中距离最近的点． H1 和 H2之间的距离叫做两类的分类空隙或分类间隔． 所谓最优分类线，就是要求分类线不但能将两类样 本正确地分开，而且要使两类的分类空隙最大． 前 者是保证经验风险最小( 为零) ，而使分类空隙最大 实际上就是使推广能力达到最大． 推广到高维空 间，最优分类线就成为最优分类面． 图 1 最优分类线示意图 Fig． 1 Diagram of optimal classification lines 划分各子类区域的最优分类线/面可以用界面 方程来表示，该界面方程又称为判别函数． 判别函 数包含两大类: 线性判别函数和非线性判别函数． 若把非线性判别函数可分的特征空间映射到另外一 个空间，判别函数能变成线性判别函数，则称为广义 线性判别函数． 任何非线性判别函数总可以变换成 广义线性判别函数． 支持向量机理论中，可以通过 一个特征映射将输入空间中的线性不可分数据映射 成另外一个空间中的线性可分数据的方法，这就是 所谓的核方法［7］． 根据支持向量机的几何学观点，在线性可分特 征空间中要将如图 2( a) 所示的两类模式分开，即是 寻找一个超平面，该超平面为两数据类的凸包之间 最近两个点的连线的平分线，如图 2( b) 所示［8］． 对 于线性不可分情况，则通过核方法，把输入映射到另 一个空间中，在新的空间中使用线性支持向量机． 核方法通过某个核函数来实现由非线性问题到线性 问题的转换． 目前常用的核函数主要有四类，即 Gauss 径向基核、多项式核、Fourier 核和 Sigmoid 核． 本文提出的判别域界面几何法采用 Sigmoid 核函 数，由 BP 神经网络实现． 传统的支持向量机是基于两类问题提出的，推 广到多类分类问题时需要依次两两分类下去，由此 形成的两两决策线经适当连接和裁剪形成最终的多 类的分类线，由计算机自动完成非常困难，造成分类 速度低和推广能力差． 本文提出的判别域界面几何 法借鉴了多边形的中轴线的概念，通过提取模式类 间隙多边形中轴线实现了一次构造多类分类边界， 从而提高了多类分类效率． 判别域界面几何法决策 边界的构造方法将在下一节进行详细的介绍． ·1294·

第10期 唐英等：基于判别域界面几何法模式识别的铁路轴承故障诊断 ·1295· a ● Q 图2支持向量机几何法.(a)两模式类及其凸包：(b)分类线 Fig.2 Support vector machine (SVM):(a)two classes and their convex hulls;(b)classification line 基于判别域界面方程法和支持向量机几何法的 所有各点都仍然属于这个点集，即属于同一模式类， 思想，本文提出判别域界面几何法，如图3的流程图 此外当紧致集中各点在任意方向有某些不大的移动 所示.它包括两个过程：学习过程形成模式识别分 时它仍然居于这个集合四 类器，识别过程进行故障诊断.在学习过程，模式类 假设对象有c个不同的模式类，映射到二维判 己知的样本作训练样本，对训练样本进行时域和频 别域空间，即形成c个紧致集，每个紧致集都是由离 域的统计分析提取的特征参数组成特征向量之后， 散点集构成.仅有两模式类(c=2)时，如图2所示， 输入BP神经网络，将不同模式类的特征向量往二 通过求解两离散点集凸包之间最近两个点的连线的 维平面上不同标靶点映射，形成二维判别域空间. 平分线，作为两模式类的决策线.对于c个模式类 然后，以支持向量机几何学为基础并采用多边形中 的情况，直观的方法是找寻两两模式类的决策线后， 轴提取方法，构造模式类间隙多边形的中轴线，在二 这些决策线经适当连接和裁剪，形成c个模式类的 维判别域空间构建模式类分类线，即决策边界，从而 分类线.但是，决策线连接和裁剪的过程由计算机 形成模式识别分类器.在识别过程中，待检样本经 自动完成非常困难.本文借鉴多边形的中轴线的概 时域和频域的统计分析后构成的特征向量，由BP 念，解决了这个问题 神经网络映射至二维判别域空间后，根据其落在二 如图4所示为构建c个模式类分类决策线的流 维判别域空间的位置，用模式识别分类器识别出待 程图.图5的示例显示了一个三模式类分类线构建 检样本的模式类型 过程中一些关键步骤的计算结果. 训练样本 待检样本 离散点集1 离散点集2 离散点集e 离散点集1e 时顿分析构建 时频分析构建 市 学 特征向量 特征向量 凸壳运算 凸壳运算 凸壳运算 凸壳运算 2 过 BP网络映射形成 BP网络映射至 维判别域空间 凸壳1 二维判别域空间 凸壳2 凸壳e 凸壳 构造决策边界 模式识别 凸壳差集运算 形成分类器 诊断结果 分类间隙多边形 图3判别域界面几何法模式识别原理 多边形Delaunay Fig.3 Procedures of pattem reorganization with interface geometric 三角制分 discriminant 约束Delaunay三角网 多边形中轴的构建 2判别域界面几何法决策边界的构造 中轴线的延展 通常假设同一模式类的样本经过BP神经网络 判别域决策线 映射在二维判别域空间中的各个点组成一个紧致 集.所谓紧致集，是指点集中的任何一点可以均匀 图4决策线构建流程图 地过渡到同一点集中的另外一点，而在过渡途中的 Fig.4 Flow chart of constructing decision-making boundaries

第 10 期 唐 英等: 基于判别域界面几何法模式识别的铁路轴承故障诊断 图 2 支持向量机几何法． ( a) 两模式类及其凸包; ( b) 分类线 Fig． 2 Support vector machine ( SVM) : ( a) two classes and their convex hulls; ( b) classification line 基于判别域界面方程法和支持向量机几何法的 思想，本文提出判别域界面几何法，如图 3 的流程图 所示． 它包括两个过程: 学习过程形成模式识别分 类器，识别过程进行故障诊断． 在学习过程，模式类 已知的样本作训练样本，对训练样本进行时域和频 域的统计分析提取的特征参数组成特征向量之后， 输入 BP 神经网络，将不同模式类的特征向量往二 维平面上不同标靶点映射，形成二维判别域空间． 然后，以支持向量机几何学为基础并采用多边形中 轴提取方法，构造模式类间隙多边形的中轴线，在二 维判别域空间构建模式类分类线，即决策边界，从而 形成模式识别分类器． 在识别过程中，待检样本经 时域和频域的统计分析后构成的特征向量，由 BP 神经网络映射至二维判别域空间后，根据其落在二 维判别域空间的位置，用模式识别分类器识别出待 检样本的模式类型． 图 3 判别域界面几何法模式识别原理 Fig． 3 Procedures of pattern reorganization with interface geometric discriminant 2 判别域界面几何法决策边界的构造 通常假设同一模式类的样本经过 BP 神经网络 映射在二维判别域空间中的各个点组成一个紧致 集． 所谓紧致集，是指点集中的任何一点可以均匀 地过渡到同一点集中的另外一点，而在过渡途中的 所有各点都仍然属于这个点集，即属于同一模式类， 此外当紧致集中各点在任意方向有某些不大的移动 时它仍然居于这个集合［9］． 图 4 决策线构建流程图 Fig． 4 Flow chart of constructing decision-making boundaries 假设对象有 c 个不同的模式类，映射到二维判 别域空间，即形成 c 个紧致集，每个紧致集都是由离 散点集构成． 仅有两模式类( c = 2) 时，如图 2 所示， 通过求解两离散点集凸包之间最近两个点的连线的 平分线，作为两模式类的决策线． 对于 c 个模式类 的情况，直观的方法是找寻两两模式类的决策线后， 这些决策线经适当连接和裁剪，形成 c 个模式类的 分类线． 但是，决策线连接和裁剪的过程由计算机 自动完成非常困难． 本文借鉴多边形的中轴线的概 念，解决了这个问题． 如图 4 所示为构建 c 个模式类分类决策线的流 程图． 图 5 的示例显示了一个三模式类分类线构建 过程中一些关键步骤的计算结果． ·1295·

·1296· 北京科技大学学报 第33卷 8 g。 00 。 a o a 4 00 00 0 80 00 00 0g0。° 00 0 0 g (bi 图5决策线构建示例.(a)判别域：(b)各类凸壳运算：(c)整体凸壳运算：(d)差集多边形：(c)Delaunay三角剖分：()中轴线提取； (g)中轴线延展：(h)形成决策边界 Fig.5 Demonstration of constructing decision-making boundaries:(a)discriminant space:(b)convex hulls of classes;(c)integral convex hull; (d)interval space polygon among classes:(e)Delaunay triangulation:(f)extracting polygon axes:(g)extending polygon axes:(h)generating classification boundaries 首先，在二维判别域空间（图5(a)上，采用凸 间隙所构成的差集多边形（图5(）)，目的是生成 壳运算找寻c个离散点集各自的类凸壳（即子凸壳， 模式类间分隔间隙 图5(b)以及由c个离散点集构成的总离散点集的 随后，对凸壳间隙差集多边形进行Delaunay三 整体凸壳（即总凸壳，图5（©）).对离散点集进行凸 角剖分（图5(e)).所谓的多边形Delaunay三角剖 壳运算实质是找到某类模式离散点集的最小包围 分即为将多边形拆分为满足Delaunay三角剖分的 域.计算平面点集凸壳的算法主要有格雷厄姆算 原则（即空圆特性、最大化最小角特性以及多边形 法、卷包裹法、分治算法、增量算法、实时算法、快速 三角剖分特性)的三角网，由此得到的多边形三角 算法和周培德的Z3-8算法等，本文采用了格雷厄 网具有唯一性、最优性和区域性等优异的特性© 姆算法针对各类模式离散点集求其子凸壳，并混合 本文进行任意多边形的Delaunay三角剖分的算法， c个离散点集构成总离散点集计算出总体凸壳. 在构网的同时考虑约束边的影响，直接构建Delau- 然后，进行总凸壳与各子凸壳的差集运算.求 nay三角网) 解总凸壳与各子凸壳的差集利用了多边形差集布尔 最后，在Delaunay三角网的基础上构建多边形 运算的概念.运算的基本思路是：求解两多边形A、 的中轴线（图5(）的粗线)并延展（图5(g)的粗 B的差集A-B,若A∩B=②，则C=A=A-B;否则 线)，形成c个模式类的分类决策线（图5(h)),完 C=A-A∩B.运算布尔找到判别域内由各子凸壳 成模式识别分类器的构建.这里，多边形中轴也叫

北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 图 5 决策线构建示例． ( a) 判别域; ( b) 各类凸壳运算; ( c) 整体凸壳运算; ( d) 差集多边形; ( e) Delaunay 三角剖分; ( f) 中轴线提取; ( g) 中轴线延展; ( h) 形成决策边界 Fig． 5 Demonstration of constructing decision-making boundaries: ( a) discriminant space; ( b) convex hulls of classes; ( c) integral convex hull; ( d) interval space polygon among classes; ( e) Delaunay triangulation; ( f) extracting polygon axes; ( g) extending polygon axes; ( h) generating classification boundaries 首先，在二维判别域空间( 图 5( a) ) 上，采用凸 壳运算找寻 c 个离散点集各自的类凸壳( 即子凸壳， 图 5( b) ) 以及由 c 个离散点集构成的总离散点集的 整体凸壳( 即总凸壳，图 5( c) ) ． 对离散点集进行凸 壳运算实质是找到某类模式离散点集的最小包围 域． 计算平面点集凸壳的算法主要有格雷厄姆算 法、卷包裹法、分治算法、增量算法、实时算法、快速 算法和周培德的 Z3 － 8 算法等，本文采用了格雷厄 姆算法针对各类模式离散点集求其子凸壳，并混合 c 个离散点集构成总离散点集计算出总体凸壳． 然后，进行总凸壳与各子凸壳的差集运算． 求 解总凸壳与各子凸壳的差集利用了多边形差集布尔 运算的概念． 运算的基本思路是: 求解两多边形 A、 B 的差集 A － B，若 A∩B = #，则 C = A = A － B; 否则 C = A － A∩B． 运算布尔找到判别域内由各子凸壳 间隙所构成的差集多边形( 图 5( d) ) ，目的是生成 模式类间分隔间隙． 随后，对凸壳间隙差集多边形进行 Delaunay 三 角剖分( 图 5( e) ) ． 所谓的多边形 Delaunay 三角剖 分即为将多边形拆分为满足 Delaunay 三角剖分的 原则( 即空圆特性、最大化最小角特性以及多边形 三角剖分特性) 的三角网，由此得到的多边形三角 网具有唯一性、最优性和区域性等优异的特性［10］． 本文进行任意多边形的 Delaunay 三角剖分的算法， 在构网的同时考虑约束边的影响，直接构建 Delau￾nay 三角网［11］． 最后，在 Delaunay 三角网的基础上构建多边形 的中轴线( 图 5 ( f) 的粗线) 并延展( 图 5 ( g) 的粗 线) ，形成 c 个模式类的分类决策线( 图 5( h) ) ，完 成模式识别分类器的构建． 这里，多边形中轴也叫 ·1296·

第10期 唐英等：基于判别域界面几何法模式识别的铁路轴承故障诊断 ·1297· 多边形的对称轴、骨架线或多边形的中线.多边形 已知的轴承，进行不同载荷(36.5kN空载与122.2 的中轴具有连续性、中间性和唯一性三个特点☒ kN负载)及不同运转速度(48.27~128.72kmh-1) 本文中正是利用中轴线的这三个特点，在各模式类 下的信号监测.实验所得样本数共144个.将这 之间的间隙，产生唯一的中轴线，分割成无偏倚的c 144个轴承故障类型已知的样本数据作为训练样 个区域(c为模式类的数目)，这样使每个模式类得 本，用来构建模式识别分类器.然后，对一个运行状 到的分类间隙最大，体现了最优分类线的特点.对 态未知的轴承进行不同载荷及不同运转速度下的监 于给定的多边形Delaunay三角网，常用的提取多边 测实验，获得样本数12个.这12个样本作为待检 形中轴的算法有质心法、中线中点法、非约束边中点 样本，输入模式识别分类器，要求判断该待检轴承是 法和Voronoi图法等.由于用Voronoi图法和非约束 否存在故障以及出现故障时的故障部位. 边中点法所提取的中轴线更能反映多边形的形状， 3.1时域和频域分析的特征参数组成特征向量 而且相比Voronoi图法，用非约束边中点法得到的 对信号的时域进行统计分析可以得到的特征参 中轴线过渡更柔滑，用于区域划分时，更具有优越 数有：(1)有量纲特征参数：峰值Peak、均方根值 性，故在本文采用了非约束边中点法的中轴构建方 RMS;(2)量纲一特征参数：波峰因数C、裕度系数 法.实现方法是：在构造的约束Delaunay三角网中， CL、脉冲系数f、峭度系数K,、波形系数SF、峰值比 可以将网络中的三角形分为三类，【类三角形中有 值R和均方根值比值P,·峰值反映了信号的强度， 两边为约束边，Ⅱ类三角形中只有一边为约束边，Ⅲ 均方根值反映信号的平均能量.裕度系数与峭度系 类三角形三边中没有约束边.对于I类三角形，取 数对于冲击脉冲类故障比较敏感，但稳定性不好 三角形中非约束边的中点和该非约束边所对应的三 波形系数主要反映频率成分的增加 角形顶点的连线：对于Ⅱ类三角形，取三角形中两非 Peak [max(s(i))-min (s(i))]/2 (1) 约束边中点的连线；对于Ⅲ类三角形，取三角形质心 P.=Peak/Peako (2) 和其三边中点的连线：将这些连线按照其拓扑关系 1 RMS=V名s()-习2 (3) 连接成一整体，即为所求中轴线. 如上所述，任意多边形Delaunay三角剖分以及 R,=RMS/RMSo (4) 在此基础上进行的多边形中轴线构建是判别域界面 Cr Peak/RMS (5) 几何法构建模式识别分类器的核心步骤.多边形三 Peak CL (6) 角网以及多边形的中轴均具有唯一性特点，因此最 终形成的决策边界是唯一的.需要指出的是，BP神 经网络映射的目标是使模式类在二维判别域空间达 水龙 (s()-)·/RMS (7) 到可分的要求.但是，在实际应用中会出现不同类 的离散点集交错的现象，即出现类交遇区.子凸壳 ls() (8) 在类交遇区交迭.解决方法是，对交迭的模式类子 凸壳，以其所属模式类在二维判别域空间的标靶点 1s()1) (9) 为缩放中心，进行凸壳等比例缩放，直至凸壳交集面 式中，s(i)为样本信号的离散数据，N为样本的数据 积为零.然后对经缩放后不相交的凸壳集，利用图4 总数，s表示样本数据的平均值，下标0表示轴承无 的方法，构建决策线.当然，类交遇区的出现会造成 诊断准确率的下降 故障样本数据的计算值. 频域参数指标主要有重心频率FC、均方频率 3判别域界面几何法模式识别法在铁路轴 MSF、均方根频率RMSF、频率方差VF和频率标准 承故障诊断中的应用 差RVF.其中重心频率FC,均方频率MSF和均方根 频率RMSF都是描述功率谱主频带位置变化的，而 本文的数据来源于铁路货车车轮用双列圆锥滚 频率方差VF和标准差RVF是描述能量的分散程 子轴承的故障检测实验，是用安装在轴承座箱体上 度的. 的振动加速度传感器测得的数据，采样频率为2.5 kHz.实验考察的轴承的六种状态为轴承无故障、外 Fc=。0s (10) 圈单个故障、外圈多个故障、内圈单个故障、内圈多 (11) 个故障以及滚动体故障.实验时，首先对运行状态 MsF-"rs(par

第 10 期 唐 英等: 基于判别域界面几何法模式识别的铁路轴承故障诊断 多边形的对称轴、骨架线或多边形的中线． 多边形 的中轴具有连续性、中间性和唯一性三个特点［12］． 本文中正是利用中轴线的这三个特点，在各模式类 之间的间隙，产生唯一的中轴线，分割成无偏倚的 c 个区域( c 为模式类的数目) ，这样使每个模式类得 到的分类间隙最大，体现了最优分类线的特点． 对 于给定的多边形 Delaunay 三角网，常用的提取多边 形中轴的算法有质心法、中线中点法、非约束边中点 法和 Voronoi 图法等． 由于用 Voronoi 图法和非约束 边中点法所提取的中轴线更能反映多边形的形状， 而且相比 Voronoi 图法，用非约束边中点法得到的 中轴线过渡更柔滑，用于区域划分时，更具有优越 性，故在本文采用了非约束边中点法的中轴构建方 法． 实现方法是: 在构造的约束 Delaunay 三角网中， 可以将网络中的三角形分为三类，Ⅰ类三角形中有 两边为约束边，Ⅱ类三角形中只有一边为约束边，Ⅲ 类三角形三边中没有约束边． 对于Ⅰ类三角形，取 三角形中非约束边的中点和该非约束边所对应的三 角形顶点的连线; 对于Ⅱ类三角形，取三角形中两非 约束边中点的连线; 对于Ⅲ类三角形，取三角形质心 和其三边中点的连线; 将这些连线按照其拓扑关系 连接成一整体，即为所求中轴线． 如上所述，任意多边形 Delaunay 三角剖分以及 在此基础上进行的多边形中轴线构建是判别域界面 几何法构建模式识别分类器的核心步骤． 多边形三 角网以及多边形的中轴均具有唯一性特点，因此最 终形成的决策边界是唯一的． 需要指出的是，BP 神 经网络映射的目标是使模式类在二维判别域空间达 到可分的要求． 但是，在实际应用中会出现不同类 的离散点集交错的现象，即出现类交遇区． 子凸壳 在类交遇区交迭． 解决方法是，对交迭的模式类子 凸壳，以其所属模式类在二维判别域空间的标靶点 为缩放中心，进行凸壳等比例缩放，直至凸壳交集面 积为零． 然后对经缩放后不相交的凸壳集，利用图 4 的方法，构建决策线． 当然，类交遇区的出现会造成 诊断准确率的下降． 3 判别域界面几何法模式识别法在铁路轴 承故障诊断中的应用 本文的数据来源于铁路货车车轮用双列圆锥滚 子轴承的故障检测实验，是用安装在轴承座箱体上 的振动加速度传感器测得的数据，采样频率为 2. 5 kHz． 实验考察的轴承的六种状态为轴承无故障、外 圈单个故障、外圈多个故障、内圈单个故障、内圈多 个故障以及滚动体故障． 实验时，首先对运行状态 已知的轴承，进行不同载荷( 36. 5 kN 空载与 122. 2 kN 负载) 及不同运转速度( 48. 27 ～ 128. 72 km·h － 1 ) 下的信号监测． 实验所得样本数共 144 个． 将这 144 个轴承故障类型已知的样本数据作为训练样 本，用来构建模式识别分类器． 然后，对一个运行状 态未知的轴承进行不同载荷及不同运转速度下的监 测实验，获得样本数 12 个． 这 12 个样本作为待检 样本，输入模式识别分类器，要求判断该待检轴承是 否存在故障以及出现故障时的故障部位． 3． 1 时域和频域分析的特征参数组成特征向量 对信号的时域进行统计分析可以得到的特征参 数有: ( 1) 有量纲特征参数: 峰值 Peak、均方根值 RMS; ( 2) 量纲一特征参数: 波峰因数 Cf、裕度系数 CLf、脉冲系数 If、峭度系数 Kv、波形系数 SF、峰值比 值 Rv和均方根值比值 Pk ． 峰值反映了信号的强度， 均方根值反映信号的平均能量． 裕度系数与峭度系 数对于冲击脉冲类故障比较敏感，但稳定性不好． 波形系数主要反映频率成分的增加． Peak =［max( s( i) ) － min( s( i) ) ］/2 ( 1) Pk = Peak /Peak0 ( 2) RMS = 1 N ∑ N i = 1 槡 ( s( i) － s) 2 ( 3) Rv = RMS /RMS0 ( 4) Cf = Peak /RMS ( 5) CLf = Peak 1 ( N ∑ N i = 1 槡s( i ) ) 2 ( 6) Kv = 1 N ∑ N i = 1 ( s( i) － s) 4 /RMS4 ( 7) ( If = Peak 1 N ∑ N i = 1 |s( i) ) | ( 8) SF = RMS ( 1 N ∑ N i = 1 |s( i) ) | ( 9) 式中，s( i) 为样本信号的离散数据，N 为样本的数据 总数，s 表示样本数据的平均值，下标 0 表示轴承无 故障样本数据的计算值． 频域参数指标主要有重心频率 FC、均方频率 MSF、均方根频率 RMSF、频率方差 VF 和频率标准 差 RVF． 其中重心频率 FC，均方频率 MSF 和均方根 频率 RMSF 都是描述功率谱主频带位置变化的，而 频率方差 VF 和标准差 RVF 是描述能量的分散程 度的． FC = ∫ +∞ 0 fS( f) df ∫ +∞ 0 S( f) df ( 10) MSF = ∫ +∞ 0 f 2 S( f) df ∫ +∞ 0 S( f) df ( 11) ·1297·

·1298· 北京科技大学学报 第33卷 RMSF=√MSF (12) v() RFV=√NF (14) 式中，f为频率，S()为信号的功率谱 上述时域和频域特征参数组成14维特征向量， 进行分类器的构建和故障诊断. 3.2BP神经网络的映射形成二维判别域空间 为了便于诊断人员主观判断轴承故障模式类 别，对于六种滚动轴承工作状态，在二维平面设计的 女 不同模式类标靶如图6所示，分布在坐标范围(0， 0)~(1,1)的二维判别域空间区域.标靶设计原则 是满足“同类紧致、不同类间相隔显著距离”这一判 图7二维判别域空间 别域界面模式类可分的条件，且兼顾故障从无至有、 Fig.7 2D discriminating space 由小至大的发展趋势，标靶设计成发散形式.上述 其轴承故障类别提供了条件 标靶即构成BP神经网络的期望目标向量、 待检轴承的12样本，通过时频信号分析和特征 1.01.0 提取，并经BP神经网络映射至二维判别域空间，结 滚动体枝装 果显示均落在图9所示的区域内.由于是对该轴承 0.50.87 进行不同载荷及不同运转速度下的实验监测到的上 述12个样本，可以看到经信号分析、特征提取和BP 无做障 神经网络映射至二维判别域后落点具有一定分散， 0.50.623 反应出实验中存在随机干扰.但如图9所示，分散 的落点均属于滚动体故障模式类的区域.因此，诊 外圆单个故项 内圈角个故燎 断出该轴承存在故障，且故障的部位位于滚动体上， 032320,32323 40.676803232) 后经开箱检查，证实了诊断结果的正确性. 外圈多个故障 内陶多不放障 0.146401464) (0.853元01464 4结论 本文基于判别域界面方程法和支持向量机几何 图6轴承故障模式类标靶 法的最佳分类线的概念，提出了一种新的模式识别 Fig.6 Targets defined for railway bearing fault diagnosis 分类器的构建方法一判别域界面几何法，并用于 为此，所用BP神经网络，其输入层的节点数14 铁路轴承故障诊断. 由特征向量的长度决定，输出层节点数为2.网络为 判别域界面几何法采用Sigmoid核函数，由BP 单隐含层.训练过程中发现，当隐含层节点数为28 神经网络实现模式类样本数据从高维输入空间至二 时，达到收敛误差所需的总步长最少，即学习训练速 维判别域空间的映射.然后，通过多边形中轴提取 度最快，所以网络隐含层节点数为28.网络隐含层 方法，构造模式类间隙多边形的中轴线，在二维判别 传递函数和输出层传递函数分别为tansig和logsig. 域空间上生成了模式类决策边界，从而构建出模式 学习率7=0.7和动量因子α=0.9.图7是训练样 识别分类器. 本的特征向量经BP神经网络映射形成的二维判别 该方法用于铁路货车车轮用双列圆锥滚子轴承 域空间 的故障诊断.实验中用振动加速度传感器拾取反映 3.3判别域界面几何法模式分类器的生成 轴承工作状态的信号，信号经时域和频域的统计分 利用144个训练样本，按照图3和图4流程图 析得到的特征参数组成特征向量构成样本数据.用 所示的过程，生成铁轮轴承故障模式分类器，一些关 轴承故障模式已知的样本数据作训练样本，采用上 键步骤的运算结果如图8所示.可以看出，不同的 述判别域界面几何法，构造出轴承模式分类器.该 故障模式类对应二维判别域平面中的不同区域，各 分类器用于未知工作状态轴承的故障诊断.诊断结 不同类之间有明确的界限，这就给操作者直观判断 果正确

北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 RMSF = 槡MSF ( 12) VF =∫ +∞ 0 ( f － FC) 2 S( f) df ∫ +∞ 0 S( f) df ( 13) RFV = 槡VF ( 14) 式中，f 为频率，S( f) 为信号的功率谱． 上述时域和频域特征参数组成 14 维特征向量， 进行分类器的构建和故障诊断． 3． 2 BP 神经网络的映射形成二维判别域空间 为了便于诊断人员主观判断轴承故障模式类 别，对于六种滚动轴承工作状态，在二维平面设计的 不同模式类标靶如图 6 所示，分布在坐标范围( 0， 0) ～ ( 1，1) 的二维判别域空间区域． 标靶设计原则 是满足“同类紧致、不同类间相隔显著距离”这一判 别域界面模式类可分的条件，且兼顾故障从无至有、 由小至大的发展趋势，标靶设计成发散形式． 上述 标靶即构成 BP 神经网络的期望目标向量． 图 6 轴承故障模式类标靶 Fig． 6 Targets defined for railway bearing fault diagnosis 为此，所用 BP 神经网络，其输入层的节点数 14 由特征向量的长度决定，输出层节点数为 2． 网络为 单隐含层． 训练过程中发现，当隐含层节点数为 28 时，达到收敛误差所需的总步长最少，即学习训练速 度最快，所以网络隐含层节点数为 28． 网络隐含层 传递函数和输出层传递函数分别为 tansig 和 logsig． 学习率 η = 0. 7 和动量因子 α = 0. 9． 图 7 是训练样 本的特征向量经 BP 神经网络映射形成的二维判别 域空间． 3． 3 判别域界面几何法模式分类器的生成 利用 144 个训练样本，按照图 3 和图 4 流程图 所示的过程，生成铁轮轴承故障模式分类器，一些关 键步骤的运算结果如图 8 所示． 可以看出，不同的 故障模式类对应二维判别域平面中的不同区域，各 不同类之间有明确的界限，这就给操作者直观判断 图 7 二维判别域空间 Fig． 7 2D discriminating space 其轴承故障类别提供了条件． 待检轴承的 12 样本，通过时频信号分析和特征 提取，并经 BP 神经网络映射至二维判别域空间，结 果显示均落在图 9 所示的区域内． 由于是对该轴承 进行不同载荷及不同运转速度下的实验监测到的上 述 12 个样本，可以看到经信号分析、特征提取和 BP 神经网络映射至二维判别域后落点具有一定分散， 反应出实验中存在随机干扰． 但如图 9 所示，分散 的落点均属于滚动体故障模式类的区域． 因此，诊 断出该轴承存在故障，且故障的部位位于滚动体上． 后经开箱检查，证实了诊断结果的正确性． 4 结论 本文基于判别域界面方程法和支持向量机几何 法的最佳分类线的概念，提出了一种新的模式识别 分类器的构建方法———判别域界面几何法，并用于 铁路轴承故障诊断． 判别域界面几何法采用 Sigmoid 核函数，由 BP 神经网络实现模式类样本数据从高维输入空间至二 维判别域空间的映射． 然后，通过多边形中轴提取 方法，构造模式类间隙多边形的中轴线，在二维判别 域空间上生成了模式类决策边界，从而构建出模式 识别分类器． 该方法用于铁路货车车轮用双列圆锥滚子轴承 的故障诊断． 实验中用振动加速度传感器拾取反映 轴承工作状态的信号，信号经时域和频域的统计分 析得到的特征参数组成特征向量构成样本数据． 用 轴承故障模式已知的样本数据作训练样本，采用上 述判别域界面几何法，构造出轴承模式分类器． 该 分类器用于未知工作状态轴承的故障诊断． 诊断结 果正确． ·1298·

第10期 唐英等：基于判别域界面几何法模式识别的铁路轴承故障诊断 ·1299· 滚动体故障 无故障 外图 内圈 单个放障 单个放障 外图多个故障 内图多个故障 图8铁轮轴承故障模式分类器构建过程.(a)凸壳运算：(b)凸壳差集：(c)Delaunay三角剖分：(d)中轴线形成及延展：(c)判别域决策 边界：(0模式分类器 Fig.8 Procedures to construct a pattern elassifier for railway bearing fault diagnosis:(a)convex hull searching algorithm:(b)subtracting operation of convex hulls:(c)Delaunay triangulation:(d)extracting and extending polygon axes:(e)generating classification boundaries:(f)pattern classifier 该应用实例表明，本文提出的判别域界面几何 法能一次构建多类分类边界，较传统的两两分类的 支持向量机方法提高了诊断效率，而且可以在二维 判别域空间上给出各不同故障模式类之间明确的界 限，这就给操作者直观判断轴承故障模式类别提供 了条件. 参考文献 [1]Ding F Y,Zhang S Y,Shao J.The trouble diagnostics technology for railway car bearings on the basis of nerve network.Rolling Sok,2006,44(12):7 图9待检轴承故障诊断 (丁福焰，张生玉，邵军.基于神经网络的车辆轴承故障诊断 Fig.9 Fault diagnosis of the inspected bearing 技术.铁道车辆，2006,44(12)：7)

第 10 期 唐 英等: 基于判别域界面几何法模式识别的铁路轴承故障诊断 图 8 铁轮轴承故障模式分类器构建过程． ( a) 凸壳运算; ( b) 凸壳差集; ( c) Delaunay 三角剖分; ( d) 中轴线形成及延展; ( e) 判别域决策 边界; ( f) 模式分类器 Fig． 8 Procedures to construct a pattern classifier for railway bearing fault diagnosis: ( a) convex hull searching algorithm; ( b) subtracting operation of convex hulls; ( c) Delaunay triangulation; ( d) extracting and extending polygon axes; ( e) generating classification boundaries; ( f) pattern classifier 图 9 待检轴承故障诊断 Fig． 9 Fault diagnosis of the inspected bearing 该应用实例表明，本文提出的判别域界面几何 法能一次构建多类分类边界，较传统的两两分类的 支持向量机方法提高了诊断效率，而且可以在二维 判别域空间上给出各不同故障模式类之间明确的界 限，这就给操作者直观判断轴承故障模式类别提供 了条件． 参 考 文 献 ［1］ Ding F Y，Zhang S Y，Shao J． The trouble diagnostics technology for railway car bearings on the basis of nerve network． Rolling Stock，2006，44( 12) : 7 ( 丁福焰，张生玉，邵军． 基于神经网络的车辆轴承故障诊断 技术． 铁道车辆，2006，44( 12) : 7) ·1299·

·1300· 北京科技大学学报 第33卷 2]Tang Y,Sun Q.Application of the continuous wavelet transform to 文].北京：华北电力大学，2006) bearing defect diagnosis.Tribol,2003,125:871 [8]Li J J,Wang A X,Zhang G Y.Pattern Recognition.Beijing: B3]Yang W Q,Chen YZ.Methods for reducing the faults in rolling China Machine Press,2006 contact bearing of motor.Explos Proof Electr Mach,2005,40 (李品皎，王爱侠，张广渊.模式识别.北京：机械工业出版 (2):28 社，2006) (杨万青，陈义忠.减少电动机滚动轴承故障的途径.防爆电 [9]Bian Z Q,Zhang X G.Pattern Recognition.Beijing:Tsinghua 机，2005,40(2)：28) University Press,2004 4]Zhao X L,Zhao X L,Jiang X K.The basic methods in pattern (边肇棋，张学工.模式识别.北京：清华大学出版社，2004) recognition and the analysis and comparison of them.inyang [10]Liu J X,Lu X M,Yue H.Study on pattern classification with Agricul Tural College,2004,14(3):37 SVM for machine fault diagnosis.Comput Technol Dev,2006,16 (赵喜林，赵喜玲，江样奎.模式识别方法及其比较分析.信 (7):126 阳农业高等专科学校学报，2004,14(3)：37) (刘建新，卢新明，岳吴.简单多边形快速Delauna町三角剖 5]Pan M Q.Study on Pattern Classification ith SVM for Machine 分算法.计算机技术与发展，2006,16(7)：126) Fault Diagnosis [Dissertation].Hangzhou:Zhejiang University, [11]Tang Y,Li YZ.A constrained growth algorithm for Delaunay tri- 2005 angulation of arbitrary polygon.Appl Res Comput,2009.26 (潘明清.基于支持向量机的机械故障模式分类研究[学位论 (Suppl)134 文].杭州：浙江大学，2005) (唐英，李应珍.任意多边形的Delaunay三角剖分约束生长 Sun J X.Modern Pattern Recognition.Hefei:National University 算法.计算机应用研究，2009,26（增刊）：134) of Defence Technology Press,2001 [12]Chang X G.Li Y L.Improvement and realization of simple con- (孙即样.现代模式识别.合肥：国防科技大学出版社，2001) vex polygon medial axis algorithm.Chongqing Inst Technol, Zhai YJ.Study on Intelligent Machine Fault Diagnosis with SVM 2009,23(9):176 DDissertation].Beijing:North China Electric Power University,2006 (常小刚，李玉龙.简单凸多边形中轴算法改进及实现.重 (翟永杰.基于支持向量机的故障智能诊断方法研究[学位论 庆工学院学报，2009,23(9)：176)

北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 ［2］ Tang Y，Sun Q． Application of the continuous wavelet transform to bearing defect diagnosis． J Tribol，2003，125: 871 ［3］ Yang W Q，Chen Y Z． Methods for reducing the faults in rolling contact bearing of motor． Explos Proof Electr Mach，2005，40 ( 2) : 28 ( 杨万青，陈义忠． 减少电动机滚动轴承故障的途径． 防爆电 机，2005，40( 2) : 28) ［4］ Zhao X L，Zhao X L，Jiang X K． The basic methods in pattern recognition and the analysis and comparison of them． J Xinyang Agricul Tural College，2004，14( 3) : 37 ( 赵喜林，赵喜玲，江祥奎． 模式识别方法及其比较分析． 信 阳农业高等专科学校学报，2004，14( 3) : 37) ［5］ Pan M Q． Study on Pattern Classification with SVM for Machine Fault Diagnosis ［Dissertation］． Hangzhou: Zhejiang University， 2005 ( 潘明清． 基于支持向量机的机械故障模式分类研究［学位论 文］． 杭州: 浙江大学，2005) ［6］ Sun J X． Modern Pattern Recognition． Hefei: National University of Defence Technology Press，2001 ( 孙即祥． 现代模式识别． 合肥: 国防科技大学出版社，2001) ［7］ Zhai Y J． Study on Intelligent Machine Fault Diagnosis with SVM ［Dissertation］． Beijing: North China Electric Power University，2006 ( 翟永杰． 基于支持向量机的故障智能诊断方法研究［学位论 文］． 北京: 华北电力大学，2006) ［8］ Li J J，Wang A X，Zhang G Y． Pattern Recognition． Beijing: China Machine Press，2006 ( 李晶皎，王爱侠，张广渊． 模式识别． 北京: 机械工业出版 社，2006) ［9］ Bian Z Q，Zhang X G． Pattern Recognition． Beijing: Tsinghua University Press，2004 ( 边肇祺，张学工． 模式识别． 北京: 清华大学出版社，2004) ［10］ Liu J X，Lu X M，Yue H． Study on pattern classification with SVM for machine fault diagnosis． Comput Technol Dev，2006，16 ( 7) : 126 ( 刘建新，卢新明，岳昊． 简单多边形快速 Delaunay 三角剖 分算法． 计算机技术与发展，2006，16( 7) : 126) ［11］ Tang Y，Li Y Z． A constrained growth algorithm for Delaunay tri￾angulation of arbitrary polygon． Appl Res Comput，2009，26 ( Suppl) : 134 ( 唐英，李应珍． 任意多边形的 Delaunay 三角剖分约束生长 算法． 计算机应用研究，2009，26( 增刊) : 134) ［12］ Chang X G，Li Y L． Improvement and realization of simple con￾vex polygon medial axis algorithm． J Chongqing Inst Technol， 2009，23( 9) : 176 ( 常小刚，李玉龙． 简单凸多边形中轴算法改进及实现． 重 庆工学院学报，2009，23( 9) : 176) ·1300·