b B bn 若r(4)<r(4),则由矩阵秩的定义,可知A列向量组的秩小于A列向量的秩,即向量组 a1,a2,…,an的秩小于向量组a1,a2,…an,B的秩。只需证明尸不可以被向量组 a1,a2,…an线性表出即可证明方程组无解。事实上,若a1,a2…an可以将β线性表出, 则向量组a1a2…an与a,α2…αn,β线性等价,则两个向量组的秩相等,矛盾于向量 组a2a2…an的秩小于向量组a12a2…,an2B的秩。所以a1,a2…,On不能将B线性表 出,方程组无解得证。 若r(A)=r(A),则a12a2…,an的极大线性无关部分组就是ax1,ax2…an,B的极大 线性无关部分组。于是B能被a1a2,…,Cn线性表出,即线性方程组有解。 任取线性方程组的一个解向量,记为7,对于线性方程组的任意一个解向量n,7-7 是由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组(称为线性方程组(*)的导出方程组)的 解向量。事实上,可以分别将n和7带入(*),再将对应方程相减,即可证明上述结论。 反过来,容易证明,对于导出方程组的每一个解向量y,n+y都是线性方程组(*)的解 向量。以T记导出方程组的解向量组成的集合,则(*)的解为 +y|y∈r} 详言之,记导出方程组的基础解系为%1,y2…,yn,则(*)的解为 K,n+k,y2 nr,(Vk∈K,i=1 如果r(A)=r(A)=n,则T={0},故方程组(*)有唯一解;如果r(A)=r(A)<n,则T 为无穷集合,故方程组(*)有无穷多解1 2 , ( 1,2, , ) i i i mi a a i n a        = =         ， 1 2 m b b b        =       。 若 r (A)  r (A) ，则由矩阵秩的定义，可知 A 列向量组的秩小于 A 列向量的秩，即向量组 1 2 , , ,   n 的 秩 小于 向 量组 1 2 , , , ,    n 的 秩 。 只需 证 明  不 可 以被 向量 组 1 2 , , ,   n 线性表出即可证明方程组无解。事实上，若 1 2 , , ,   n 可以将  线性表出， 则向量组 1 2 , , ,   n 与 1 2 , , , ,    n 线性等价，则两个向量组的秩相等，矛盾于向量 组 1 2 , , ,   n 的秩小于向量组 1 2 , , , ,    n 的秩。所以 1 2 , , ,   n 不能将  线性表 出，方程组无解得证。 若 r (A) = r (A) ，则 1 2 , , ,   n 的极大线性无关部分组就是 1 2 , , , ,    n 的极大 线性无关部分组。于是  能被 1 2 , , ,   n 线性表出，即线性方程组有解。 任取线性方程组的一个解向量，记为 0 ，对于线性方程组的任意一个解向量  ， − 0 是由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组（称为线性方程组（*）的导出方程组）的 解向量。事实上，可以分别将  和 0 带入（*），再将对应方程相减，即可证明上述结论。 反过来，容易证明，对于导出方程组的每一个解向量  ，  0 + 都是线性方程组（*）的解 向量。以 T 记导出方程组的解向量组成的集合，则（*）的解为  0 +  |  T. 详言之，记导出方程组的基础解系为 1 2 , , , n r    − ，则（*）的解为： 0 1 1 2 2 , ( , 1,2, , ) n r n r i     k k k k K i n r + + + +   = − − − . 如果 r (A) = r (A) = n ，则 T = {0} ，故方程组（*）有唯一解；如果 r (A) = r (A)  n ，则 T 为无穷集合，故方程组（*）有无穷多解