21xeax+i1(-1x=0+(-3)=- 【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解 完全类似的例题见《数学复习指南》P96例417,《数学四临考演习》P6第2题, P68第15题,《考研数学大串讲》P41例14 0-10 (4)设A=100,B=P-AP,其中P为三阶可逆矩阵,则 B20-2A2=030 00-1 【分析】将B的幂次转化为A的幂次,并注意到A2为对角矩阵即得答案 【详解】因为 A2=0-10.B20=P1A0P 001 B204=P(A P=PEP=E 300 200-2A42=030 【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查 完全类似的例题可见《数学复习指南》P291例213 (5)设A=(a)2是实正交矩阵,且a1=1,b=(10),则线性方程组Ax=b的解是 (100) 【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果 【详解】因为x=Ab,而且A=(a)是实正交矩阵,于是A=A2,A的每一个行 (列)向量均为单位向量,所以 x=ab=ab a13)(0 【评注】本题主要考査正交矩阵的性质和矩阵的运算. 类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版世界图书出版公司)P74例332 ＝ 2 1 ) 2 1 ( 1) 0 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 + − = + − = −   − x e dx dx x . 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. 完全类似的例题见《数学复习指南》P96 例 4.17，《数学四临考演习》P61 第 2 题， P68 第 15 题，《考研数学大串讲》P41 例 14. （4） 设           − − = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 A ， B P AP −1 = ，其中 P 为三阶可逆矩阵, 则 − = 2004 2 B 2A           0 0 −1 0 3 0 3 0 0 ． 【分析】 将 B 的幂次转化为 A 的幂次, 并注意到 2 A 为对角矩阵即得答案. 【详解】因为           − − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 A , B P A P 2004 −1 2004 = . 故 B = P A P = P EP = E 2004 −1 2 1002 −1 ( ) , − = 2004 2 B 2A           0 0 −1 0 3 0 3 0 0 . 【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查． 完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291 例 2.13. (5) 设 ( ) 33 A = aij 是实正交矩阵，且 a11 =1， T b = (1,0,0) ，则线性方程组 Ax = b 的解是 T (1,0,0) ． 【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果. 【详解】因为 x A b −1 = , 而且 ( ) 33 A = aij 是实正交矩阵, 于是 −1 A = A T , A 的每一个行 (列)向量均为单位向量, 所以           =           = = = − 0 0 1 13 12 11 1 a a a x A b A b T . 【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算． 类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002 版, 世界图书出版公司) P.174 例 33