复势函数为 0=- p+ie Inz 2π(1+K) K(P-iQ)Inz (9.34) = 2π(1+K) 由此应力、位移分量都可以求出，无限大平面作用集中力的解称为Kelvin基本解。 9.7椭圆孔问题 D 人a O a 图1-2 如图所示，薄板中央有一个小椭圆孔，半长轴和半短轴分别为α和b,椭圆孔边界上不 受外力，在远处作用有与x轴成角的拉应力。 预备知识 (I)Cauchy定理、Cauchy积分公式。 Cauchy定理：设f(z)在区域G内单值解析，且连续到边界L,则 ∮f(e)证=0 有界区域的Cauchy积分公式 2πit-z L方向使得区域在其左侧，反时针绕行。 无界区域的Cauchy积分公式 设f(z)在曲线L及其外部区域D内解析，且limf(z)=A≠oo,则 -f()+Az∈D 2πit-z A z生D (2)保角变换 要解决椭圆孔问题，需要把椭圆孔变换成圆孔，这要用到保角变换。单值解析函数 z=w(5),把弹性体在z平面上(x,y平面上)的区域变换到5平面上的区域。记 5=w(z),5=pe。p=cons1(5平面圆周)和0=const(5平面上的径向)对应 99 复势函数为 ln 2 (1 ) ( ) ln 2 (1 ) P iQ z P iQ z ϕ π κ κ ψ π κ + = − + − = + (9.34) 由此应力、位移分量都可以求出，无限大平面作用集中力的解称为 Kelvin 基本解。 9.7 椭圆孔问题 图 1-2 如图所示，薄板中央有一个小椭圆孔，半长轴和半短轴分别为 a 和b ，椭圆孔边界上不 受外力，在远处作用有与 x 轴成α 角的拉应力。 预备知识 (1) Cauchy 定理、Cauchy 积分公式。 Cauchy 定理：设 f ( )z 在区域G 内单值解析，且连续到边界 L ，则 () 0 L f z dz = v∫ 有界区域的 Cauchy 积分公式 1 () ( ) 2 L f t f z dt z G πitz = ∈ − v∫ L 方向使得区域在其左侧，反时针绕行。 无界区域的 Cauchy 积分公式 设 f ( )z 在曲线 L 及其外部区域 D 内解析，且 lim ( ) z fz A →∞ = ≠ ∞ ，则 1 () ( ) 2 L f t f z AzD dt πitz A zD ⎧− + ∈ = ⎨ − ⎩ ∉ v∫ （2）保角变换 要解决椭圆孔问题，需要把椭圆孔变换成圆孔，这要用到保角变换。单值解析函数 z w= ( ) ζ ，把弹性体在 z 平面上（ x, y 平面上）的区域变换到 ζ 平面上的区域。记 1 ( ), i wz e θ ζ ζ ρ − = = 。 ρ = const （ζ 平面圆周）和θ = const （ζ 平面上的径向）对应 p p x y a b α O