例5.设函数f(x)在0,3]上连续,在(0,3)内可导,且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在ξ∈(0,3),使 f()=0.(03考研) 证:因f(x)在[0,3上连续,所以在[0,2上连续,且在 [0,2上有最大值M与最小值m,故 m≤f(0),f(1),f(2)≤M=mxJ(0)+f(1)+f(2)≤M 由介值定理,至少存在一点c∈[0,2],使 f(c)= f(O)+f(1)+f(2) f(c)=f(3)=1,且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导, 由罗尔定理知必存在ξ∈(c,3)c(0.,3),使f()=0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束例5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) =1,  (0,3), 使 f () = 0. 分析: 所给条件可写为 1, (3) 1 3 (0) (1) (2) = = + + f f f f (03考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 m  f (0), f (1), f (2)  M m M f f f   + + 3 (0) (1) (2) 由介值定理, 至少存在一点 c[0,2], 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = =1  f (c) = f (3) =1,且 f (x)在[c,3]上连续, 在(c, 3)内可导, 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3)  (0, 3), 使 f () = 0