赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 现已有a为2(X1,…,Xp;2(Xp+1,…,Xp+q;Y)同x(X1,…,Xp+q;Y)之间的线性 同构.以下考虑范数 la(g) p+q)ly D)le(x 1 再考虑 a(重)(u1,……,p;…,up+q)y 更 P+1 1x1……| uplxplll+1 1 up)(up +g)ly unlx1……|uplx sup up+1|xpr+1…|up+qxp+ (更)( unlx1…|uplx ≤更x(x1…,xpx(xp+1+…xp+Y) 故有 ≤更 另有 a(乎)xx,…x,1)≥|(更)(u1,…,4)(p+1,p+ la1lx1… luplxplllp+lxp+1…|up+qlxp+q 1 更)(u1, y sup ulx1…uplx 故有 a(川x(x1…xP+;1)≥团更x(x1…,xp:x(xp+1+…xn+Y) 综上,有 ()(x1…x+9)=囤x(x1…,x:(xp+1…,xy) 定理1.7(高阶导数与方向导数之间的关系) (x)(h1,…,hp) ∈ 证明对于p=1的情况,显然有 df (x)(h1)=Dh1f(x);赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 现已有 A 为 L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )) 同 L (X1, · · · , Xp+q; Y ) 之间的线性 同构. 以下考虑范数 |A (Φ)|A (X1,··· ,Xp+q;Y ) , sup |A (Φ)(u1, · · · , up+q)|Y |u1|X1 · · · |up+q|Xp+q , |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )) , sup |Φ(u1, · · · , up)|L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y ) |u1|X1 · · · |up|Xp , 再考虑 |A (Φ)(u1, · · · , up, · · · , up+q)|Y |u1|X1 · · · |up+q|Xp+q = |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y [|u1|X1 · · · |up|Xp ][|up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q ] 6 1 |u1|X1 · · · |up|Xp sup |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y |up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q 6 |(Φ)(u1, · · · , up)|L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y ) |u1|X1 · · · |up|Xp 6 |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )), 故有 |A (Φ)|L (X1,··· ,Xp+q;Y ) 6 |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )). 另有 |A (Φ)|L (X1,··· ,Xp+q;Y ) > |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y [|u1|X1 · · · |up|Xp ][|up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q ] > 1 |u1|X1 · · · |up|Xp sup |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y |up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q , 故有 |A (Φ)|L (X1,··· ,Xp+q;Y ) > |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )). 综上, 有 |A (Φ)|A (X1,··· ,Xp+q;Y ) = |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )). 定理 1.7 (高阶导数与方向导数之间的关系). d pf dx p (x)(h1, · · · , hp) = Dh1 ◦ · · · ◦ Dhp f(x) ∈ Y. 证明 对于 p = 1 的情况, 显然有 df dx (x)(h1) = Dh1 f(x); 9