10.解:特征方程为r2-2r+1=0,即r1=z2=1 1分 所以y=(C1+C2x)e 3分 而=1为二重根, 所以令y=bx2ex,代入原方程得b 所以 -4分 所以y=(C1+C2x)e2+x2er 5分 四.应用题(本题8分) Kx(N 解:由题可知{d 4分 由此可得d=kdt 5分 x(N-x) 积分得x≈NCe2AW 6分 代入初始条件得x= 8分 五.证明题(本题共2小题,每小题6分,共12分) (1)证明:对方程的两边分别求关于x的导数得 2分 n-ngp 对方程的两边分别求关于y的导数得 m2=9(1-n2)→2=-4分 m-+n --6分 (2)证明:因为P(x,y)=-[+y2f(xy),Q(x,y)=[y2f(xy)-1]--1分 =f(x,y)-一2+xyf(xy), f(xy)-4分 第3页共4页第 3 页 共 4 页 10. 解：特征方程为 2 1 0 2 r r + = ，即 r1 = r2 = 1 -----1 分 所以 x Y C C x)( e = 1 + 2 ------3 分 而  = 1为二重根， 所以令 x y bx e * 2 = ，代入原方程得 2 1 b = 所以 x y x e * 2 2 1 = -----4 分 所以 y = x (C C x)e 1 + 2 + x x e 2 2 1 .------5 分 四.应用题（本题 8 分）. 解： 由题可知    = = = 0 0 ( ) x x kx N x dt dx t -------4 分 由此可得 kdt x N x dx = ( ) --------5 分 积分得 kNt kNt Ce NCe x + = 1 --------6 分 代入初始条件得 kNt kNt N x x e Nx e x 0 0 0 + = --------8 分 五.证明题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）. （1） 证明：对方程的两边分别求关于 x 的导数得 1 ( ) ' x z n x z m   =    ' 1 x m n z =    ------2 分 对方程的两边分别求关于 y 的导数得 (1 ) ' y z n y z m   =    y n m z =    ' '   ------4 分 =   +   y z n x z m ' m n m + 1 ' ' = n m n   ------6 分 （2） 证明： 因为 [1 ( )] 1 ( , ) 2 y f xy y P x y = + ， ( , ) [ ( ) 1] 2 2 = y f xy y x Q x y ----1 分 ( ) 1 ( , ) ' 2 xyf xy y f x y y P = +   ， ( ) 1 ( , ) ' 2 xyf xy y f x y x Q = +   ------4 分