1,2,3, 1,2,3 (5)0≤x1<1,xm1=1-√-xn,n=123… (6)0<x (2-xn),n=1,2,3 解(1)首先有0<x=√2<2,设0<xk<2,则0<xk=√2+xk<2,由 数学归纳法可知Ⅶn,0<x,<2。由 可知数列{xn1-xn}保持同号;再由x2-x1>0,可知n,xn1-xn>0, 所以{xn}是单调增加有上界的数列,因此收敛。设 " limx=a,对等式 xn=√2+x两端求极限,得到方程a=√2+a,解此方程,得到a=2, 因此 lim (2)首先有0<x=√2<2,设0<x<2,则0<x=√2x<2,由数 学归纳法可知,0<xn<2。由xn-xn=√2xn-xn=√xn(2-√xn)>0 可知{xn}是单调增加有上界的数列,因此收敛。设 lim x=a,对等式 xn=√2xn两端求极限,得到方程a=√2a,解此方程,得到a=2(另 解a=0舍去),因此 lim x =2 (3)首先有x1=√2>-1,设x>-1,则x1 2+x->-1,由数学(2) x1= 2 , xn+1= 2xn , n = 1 2, ,3,"； (3) x1= 2 , xn+1= − + 1 2 xn , n = 1 2, ,3,"； (4) x1=1, xn+1= 4 3 + xn , n = 1 2, ,3,"； (5) 0＜ x1＜1, xn+1=1 n − 1− x , n = 1 2, ,3,"； (6) 0＜ x1＜1, xn+1= xn (2 − xn ), n = 1 2, ,3,"。 解 （1）首先有0 < x1= 2 < 2，设0 < xk < 2，则0 < k+1 x = 2 + xk < 2，由 数学归纳法可知∀n，0 < xn < 2。由 xn+1 − xn = 2 + xn − 2 + n−1 x 1 1 2 2 − − + + + − = n n n n x x x x ， 可知数列{xn+1 − xn }保持同号；再由 0 x2 − x1 > ，可知∀n， ， 所以 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = xn+1 − xn > 0 { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 2 + xn 两端求极限，得到方程a = 2 + a ，解此方程，得到 ， 因此 a = 2 lim = 2 →∞ n n x 。 （2）首先有0 < x1= 2 < 2，设0 < xk < 2，则0 < k+1 x = 2xk < 2，由数 学归纳法可知∀n，0 < xn < 2。由 xn+1 − xn = n 2x n − x = xn ( 2 − xn ) > 0， 可知 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 n 2x 两端求极限，得到方程a = 2a ，解此方程，得到 （另 一解 舍去），因此 a = 2 a = 0 lim = 2 →∞ n n x 。 （3）首先有 x1 = 2 > −1，设 xk > −1，则 = k+1 x 1 2 1 > − + − k x ，由数学 25