解: 先求相应的齐次方程的通解x(),即()+2x0(1)+2x0(1)=0,可以用 Laplace变换或《高等数学》中解二阶常系数微分方程的方法。(下面以 Laplace变 换法解此方程) 设x0()分x(p),且x(O)=A,x0(0)=B,则, 元(1)>px0(P)-x0(0)=px0(p)-A 元(1)分>p2x(P)-px0(0)-60(0)=p2x0(p)-PA-B, 由此可以得到x(p)的方程, (p2+2y+(p)=pA+B+24,即 A+B+2%4 x0(P) P4+B+2y4 p- +2yp+Oo pA+B+2yA (p+)+0-y7 利用 sin ot 和位移定理,得 x0()=Aec"cos√a2-y2t B+24 sIn = Cecos√-y2t+C2e"sin√o2-y2t 其中C1C2为任意常数。 现用 Fourier变换求方程X(t)+2x()+m2x(t)=b()的一个特解x()。由于此方程 是具有阻尼的振动方程,显然x()满足条件x(=0,x(=0。 f(oe do 设x(1)x(m),利 Fourier变换 f()=√2x 的性质,有, f(o) f(ae dt x()分(-i0)x1(m) ()(-i)2x1(p)解： 先求相应的齐次方程的通解 ( ) 0 x t ，即 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 0 2 & x& 0 t + γx&0 t +ω0 x t = ，可以用 Laplace 变换或《高等数学》中解二阶常系数微分方程的方法。（下面以 Laplace 变 换法解此方程） 设 ( ) ( ) x0 t ↔ x0 p ，且 x0 (0) = A, x&0 (0) = B，则， x&0 (t) ↔ px0 ( p) − x0 (0) = px0 ( p) − A x (t) ↔ p x ( p) − px (0) − x (0) = p x0 ( p) − pA − B 2 0 0 0 2 0 && & ， 由此可以得到 ( ) x0 p 的方程， (p 2γp ω )x0 ( p) pA B 2γA 2 0 2 + + = + + ，即 ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 2 2 2 2 ( ) γ ω γ γ γ ω γ γ ω γ γ γ ω γ + + − + + = + + − + − − + + = + + + + = p pA B A p i p i pA B A p p pA B A x p 利用 2 2 sin ω ω ω + ↔ p t ， 2 2 cos ω ω + ↔ p p t 和位移定理，得 C e t C e t e t B A x t Ae t t t t t 2 2 2 0 2 2 1 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 cos sin sin 2 ( ) cos ω γ ω γ ω γ ω γ γ ω γ γ γ γ γ = − + − − − + = − + − − − − 其中 1 2 C ,C 为任意常数。 现用 Fourier 变换求方程 x(t) + 2γx(t) +ω x(t) = δ (t) 2 0 && & 的一个特解 ( ) 1 x t 。由于此方程 是具有阻尼的振动方程，显然 ( ) 1 x t 满足条件 ( ) 0, ( ) 0 1 = 1 = t→±∞ t→±∞ x t x& t 。 设 ( ) ~ ( ) x1 t ↔ x1 ω ，利 Fourier 变换        = = ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ − f f t e t f t f e i t i t ( ) d 2 1 ( ) ~ ( ) d ~ 2 1 ( ) ω ω π ω ω ω π 的性质，有， ( ) ~ ( ) ( ) x&1 t ↔ −iω x1 ω ( ) ~ ( ) ( ) 1 2 & x& 1 t ↔ −iω x p