(t-r) 由此得到关于x(a)的方程,-o2x1(o)-12yoi1(o)+ax(o) e,即 x(0)=-~1 2T +i2yo-o 01O-02 其中,a=√a-y2-y,o1=-√o-y2-1y,由逆变换,得 x(0*T2T o V2r(o-o, Mo-oy eado=-LL a)a-2) 0 t<T oa 上面的积分由留数定理求得,当t-x<0时,补充上半圆周,取上半平面。当 t-r>0时,补充下半圆周,取下半平面。 因此,方程的通解为 x()=x()+x1(D) e"(cos 0g -ri +C2e" sin 00 -)+r I e"rle-n) sin o-r G-r) 4用变换解积分方程a43a4=+b,0<a 解: 方程两边同乘以 变为 f(5) 5)+ 对方程作 Fourier变换,左边是卷积积分形式,因此是-2的象函数与f(x) 的象函数的乘积, f(x)←>f(k)ωτ π δ τ i t e 2 1 ( − ) ↔ ， 由此得到关于 ( ) ~x1 ω 的方程， ωτ π ω ω γω ω ω ω i x i x x e 2 1 ( ) ~ ( ) ~ ( ) 2 ~ 1 2 1 1 0 2 − − + = ，即 ( )( ) 1 2 2 0 1 2 2 1 2 2 1 ( ) ~ π ω γω ω π ω ω ω ω ω ωτ ωτ − − = − + − = − i i e i e x ， 其中，ω = ω − γ − iγ 2 2 1 0 ，ω = − ω − γ − iγ 2 2 1 0 ，由逆变换，得 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )      − − > − < = − − = − − − = − − − ∞ −∞ − ∞ −∞ − ∫ ∫ ω γ τ τ ω γ τ ω π ω ω ω ω ω π π ω ω ω ω γ τ ω ωτ ω ωτ e t t t e e e e x t t i t i i t i sin 1 0 d 2 1 d 2 1 2 1 ( ) 2 2 0 2 2 0 1 2 1 2 1 上面的积分由留数定理求得，当t −τ < 0 时，补充上半圆周，取上半平面。当 t −τ > 0时，补充下半圆周，取下半平面。 因此，方程的通解为 ( ) ( ) ( ) e (C t C e t) e C t C e t e t x t x t x t t t t t t 2 2 2 0 2 2 1 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 1 0 0 1 cos sin sin 1 cos sin ( ) ( ) ( ) ω γ ω γ ω γ τ ω γ ω γ ω γ γ γ γ γ γ τ = ′ − + ′ − − − − = − + − + = + − − − − − − 4. 用 Fourier 变换求解积分方程 ( )2 2 2 2 1 d ( ) x a x b f + = − + ∫ ∞ −∞ ξ ξ ξ ，(0 < a ≤ b)。 解： 方程两边同乘以 2π 1 ，变为 ( )2 2 2 2 1 2 1 d ( ) 2 1 x a x b f + = − + ∫ ∞ −∞ π ξ ξ ξ π 对方程作 Fourier 变换，左边是卷积积分形式，因此是 2 2 1 x + a 的象函数与 f (x) 的象函数的乘积， ( ) ~ f (x) ↔ f k