例4 Hilbert空间是一致凸的 实际上,由平行四边形公式,Vx,y∈X x+y+1-y2=2(+) 若|≤1,叫s1,|x-川≥E,则+川≤4-E2,于是 x+ 其中δ=1 此外空间1,L[ab](1<p<∞)也是一致凸空间 由定义容易知道,每个一致凸空间是严格凸的 例4由于,L[ab],C[ab],L[ab,c,c0不是严格凸 的,所以也不是一致凸的 定理6 Banach空间X是一致凸的当且仅当x,yn∈X limi,=lim, =l, lim,+y, =2 f, limlm-y,=0 证明首先设|xn-=|y=1,im+y川=2,若 m-y|≥6>0,则有无穷多个x,使得|-|22>0 由一致凸性定义 ≤1-6,这里6=6(E)>0,从而 xn+y, 矛盾 现设imxn=limy=1,取x /,x=y,则kx==17 例 4 Hilbert 空间是一致凸的. 实际上，由平行四边形公式， ∀x, y X ∈ ( ) 2 2 22 x + +− = + y xy x y 2 ， 若 x ≤1， y ≤1， x y − ≥ ε ，则 2 2 x y + ≤ −4 ε ，于是 2 1 1 2 4 x y ε δ + ≤ − =− ， 其中 2 1 1 4 ε δ =− − . 此外空间 p l ， [ , ] p L ab (1＜ ＜p ∞) 也是一致凸空间. 由定义容易知道，每个一致凸空间是严格凸的. 例 4 由于 1 l ， [ ] 1 L a b, ， C ab [ , ] ， L [a b, ] ∞ ， c ， 0 c 不是严格凸 的，所以也不是一致凸的. 定理 6 Banach 空间 X 是一致凸的当且仅当 , n n ∀x y X ∈ ， lim lim 1 n n n n x y →∞ →∞ = = ， lim 2 n n n x y →∞ + = 时， lim 0 n n n x y →∞ − = . 证 明 首先设 1 n n x y = = ， lim 2 n n n x y →∞ + = ，若 lim n n n x y ε →∞ − ≥ ＞0 ，则有无穷多个 , k k n n x y 使得 2 k k n n x y ε − ≥ ＞0 . 由一致凸性定义， 1 2 k k n n x y δ + ≤ − ，这里 δ δε = ( )＞0，从而 lim 2 n n n x y →∞ + ＜ ，矛盾. 现设 lim lim 1 n n n n x y →∞ →∞ = = ，取 n n n x x x ′ = ， n n n y y y ′ = ，则 n x′ = 1 n y′ =