p()=limo() 证明首先证明在E上是有下界的.若不然,Vn≥1, x,∈E,o(x)<-n,E弱紧,此时存在xx∈E,由口的 下半连续性,q(x)≤imo(xn)=-∞,这与的定义矛盾 其次,取x∈E使得p(xn)=infq(x),则有子列x x—x∈E.由下半连续性 o(x)≤m(x)=imfo(x) 另一方面,显然q(x)≥infp(x).故最后有p(x)=infg(x) 推论1设X是自反空间,ECX是有界闭凸子集,则 (1)x∈X存在x关于E的最佳逼近元y Ix-y=inf x-= (2)若:X→R是弱下半连续的,则彐x∈E使得 p(o)2 inf p(x) 末了,让我们介绍一致凸空间 定义2线性赋范空间X称为是一致凸的,若VE(0<E≤2),存 在6>0,对于任意xy∈X,≤1,川≤1,只要x-y≥E,则 66 ( 0 ) lim ( ) x E ϕ ϕ x x ∈ = . 证 明 首先证明 ϕ 在 E 上是有下界的 . 若不然， ∀ ≥ n 1 ， n ∃ ∈ x E ， ( ) n ϕ x ＜− n ， E 弱紧，此时存在 0 k w n x → ∈ x E ，由 ϕ 的 下半连续性， ( ) 0 lim ( ) k k n n ϕ ϕ x x →∞ ≤ = −∞ ，这与 ϕ 的定义矛盾. 其次，取 n x′ ∈ E 使 得 ( n ) inf ( ) y E ϕ ϕ x x ∈ ′ = ，则有子列 k n x′ ， 0 k w n x′ ′ → ∈ x E . 由下半连续性 ( ) 0 lim inf ( ) ( ) k k n y E n ϕϕϕ x x x →∞ ∈ ′ ′ ≤ = . 另一方面，显然 ( ) 0 inf ( ) y E ϕ ϕ x x ∈ ′ ≥ . 故最后有 ( 0 ) inf ( ) y E ϕ ϕ x x ∈ ′ = . 推论 1 设 X 是自反空间， E X ⊂ 是有界闭凸子集，则 (1) ∀ ∈x X 存在 x 关于 E 的最佳逼近元 y , inf z E x y xz ∈ − = − . (2) 若 ϕ : X → R 是弱下半连续的，则 0 ∃x ∈ E 使得 ( 0 ) inf ( ) x E ϕ ϕ x x ∈ ≥ . 末了，让我们介绍一致凸空间. 定义 2 线性赋范空间 X 称为是一致凸的，若 ∀ε (0 2 ＜ε ≤ ) ，存 在 δ＞0，对于任意 x, y X ∈ ， x ≤1， y ≤1，只要 x y − ≥ ε ，则 1 2 x y δ + ≤ − . ( ) 2