定理4设X是线性赋范空间,ECX是弱序列紧集,x∈X\E 则存在y∈E使得 lxo-yoll=inf *o-y=d Yo, E) 即y是x关于E的最佳逼近元 证明取yn∈E使得|x-yn→inf|x-列,由于E是弱序列紧 的,从而有子列y→y∈E.现在一方面 ≥inf 另一方面,由于∈X’f(y)→f(y),特别地取∈X”使得 fl|-1,G(x-y)=|x-y,则 =6(x-y)=1mG(x-y) im /o, = inf o-voll 于是 Ixo-yollinf o-y 线性赋范空间X上的泛函q:X→(-∞,叫](不必线性)称为是弱下 半连续的,若对于任何x∈X和x"→x,(x)simg(x) 定理5设E是线性赋范空间X中的弱序列紧集,q:E→R是弱 下半连续泛函,则在E上可达到极小值,即彐x0∈E使得5 定理 4 设 X 是线性赋范空间，E ⊂ X 是弱序列紧集， 0 x ∈ X E\ ， 则存在 0 y E ∈ 使得 00 0 0 inf , ( ) y E x y x y dxE ∈ − = −= . 即 0 y 是 0 x 关于 E 的最佳逼近元. 证明 取 n y E ∈ 使得 0 0 inf n y E x y xy ∈ − → − ，由于 E 是弱序列紧 的，从而有子列 0 k n y yE → ∈ . 现在一方面 00 0 inf y E x y xy ∈ −≥ − . 另一方面, 由于 f X ∗ ∀ ∈ ， ( ) ( ) 0 k n f y fy → ，特别地取 0f X ∗ ∈ 使得 0f =1， f00 0 0 0 ( ) xy xy − =− ，则 0 0 00 0 00 ( ) lim ( ) k k n n x y fx y fx y →∞ −= −= − 0 0 lim k k n n f x y →∞ ≤ − 0 inf y E x y ∈ = − . 于是 00 0 inf y E x y xy ∈ −= − . 线性赋范空间 X 上的泛函 ϕ : , X → −∞ ∞ ( ](不必线性)称为是弱下 半连续的，若对于任何 0 x ∈ X 和 0 w n x → x ， ( 0 ) lim ( ) n n ϕ ϕ x x →∞ ≤ . 定理 5 设 E 是线性赋范空间 X 中的弱序列紧集，ϕ : E R → 是弱 下半连续泛函，则 ϕ 在 E 上可达到极小值，即 0 ∃x ∈ E 使得