x-"→x∈X,同时有| roslin|x2s1,故x∈Sx·Sxw序列紧 (3)→(4)设∫≠0,f∈x·由/=sp/(x),取x∈X, |xnl=1,f|-<f(x)≤/(·由(3),{x}中有子序列x—"→x, xlim|x|s1,特别地,f(x)=limf(x)但 J/lf('n)sIlI 于是 (x)=im|/(x)=1/ 现在(x)s/x,故|xl≥1,从而|x=1.若f(x)=re, 取x=ex,则|1=|x=1,并且 f(x)=e"f(x)=r=|f(x)= 4)→(1)一个初等的但繁复的证明由 James作出(见 Israel J. Math.vol13,1972),这里略去 例3C[0.不是自反空间.取x()=,n21,则x∈C[O 由第16讲例4,若有子列x弱收敛于x,则x()=0,0<(1,x()=1 但xgC[O,],这说明C[0,的闭单位球不是w序列紧的.由定理3(3) 知C[.不自反 习题二第4题和定理3(4)也可以说明这个结论成立 定理3(3)说明自反空间中的任一有界闭凸子集是弱序列紧集,这 性质在逼近论和凸分析中有很多应用4 0 k w n x → ∈ x X ，同时有 0 lim 1 k n k x x →∞ ≤ ≤ ，故 0 X x ∈ S . X S w 序列紧. (3) ⇒ (4) 设 f ≠ 0， f X ∗ ∈ . 由 ( ) 1 sup x f f x = = ，取 n x ∈ X ， 1 n x = ， ( ) 1 n f fx f n − ≤ ＜ . 由(3)，{xn} 中有子序列 0 k w n x → x ， 0 lim 1 k k n n x x →∞ ≤ ≤ ，特别地， ( ) 0 lim ( ) k k n n f x fx →∞ = . 但 ( ) 1 k n k f fx f n − ≤ ＜ , 于是 ( ) 0 lim ( ) k k n n f x fx f →∞ = = . 现在 f ( x fx 0 0 ) ≤ ，故 0 x ≥1，从而 0 x =1. 若 ( 0 ) i f x re θ = ， 取 0 i x e x − θ = ，则 0 x x = =1，并且 ( ) ( 0 0 ) ( ) i f x e fx r fx f − θ = == = . (4) ⇒ (1) 一个初等的但繁复的证明由 James 作出 (见 Israel J.Math. vol 13，1972 )，这里略去. 例 3 C[0,1]不是自反空间. 取 ( ) n n x t t = ，n ≥1，则 x C n ∈ [0,1] . 由第 16 讲例 4，若有子列 k n x 弱收敛于 x ，则 x t( ) = 0 ，0 1 ＜ ＜t ，x ( ) 1 1 = . 但 x C ∉ [0,1] ，这说明 C[0,1]的闭单位球不是 w 序列紧的. 由定理 3(3) 知 C[0,1]不自反. 习题二第 4 题和定理 3(4)也可以说明这个结论成立. 定理 3(3) 说明自反空间中的任一有界闭凸子集是弱序列紧集，这 一性质在逼近论和凸分析中有很多应用