令(4)=2-g(1),现在g(4)=k(),故g(O)=h(O)=0 现在取S=g(A),N=h(A),显然有SN=NS。由于 g()=λ1+k(m()=+k(O-,)°, 故 S-hE=g(A)-nEk (A)(A-nE) 因为(A-E)限制在M1内变为0,故S-λE限制在M1内变为0,亦即有 Mx.=El,而V=M1M2④…M,于是S的矩阵可对角化,即S为内的半单 线性变换。另一方面 N=h(a)=a-g(A)=A-nE-k(AXa-le 因为(A-入E)限制在M1内变为0,故NM=(A-E)为M内的幂零线性变换,而 V=M1⊕M2…M,,由此可知N为V内的幂零线性变换 下面来证唯一性 假如又有V内的半单线性变换S1,幂零线性变换N,,满足条件。那么: (a)S1与N1显然与A可交换,而S=g(A),N=h(A),故它们也可与S,N交换 对于任意α∈M,有 (A-λ,E)S=S1(A-E)α=0, (A-入E)=N=N1(A-E)°a=0 故M1=Ker(A-AE)(=1,2,,s)为A,N,S1,N1的公共不变子空间。令L=N-N1, 则M也是L的不变子空间,N,N均幂零且可交换,故L也幂零,而M内S=A,E,故 在M,内有 S1=S+(N-N1)=E+L 根据第七章关于 Jordan标准型的讨论我们有:在M内存在一组基,在该组基下S1l的矩 阵成 Jordan形,其主对角线上的元素全为入,把各M中的基合并为的基,则在此基下S1 的矩阵成 Jordan形,主对角线元素为A122,∈K,即S1的特征多项式的根全属于K。 (b)这样S1的矩阵可对角化,从而S1L的矩阵也可对角化(见第四章)。但S1lM仅 有一个特征值λ,于是 S,M=ME=SIA 由于V=M1M④…⊕M,,所以又上式知S,=S,从而N=N,。唯一性得证。令 h g ( ) ( )    = − ，现在 g k ( ) ( )    = ，故 g h (0) (0) 0 = = 。 现在取 S A N A = = g h ( ), ( ) ，显然有 SN=NS 。由于 ( ) ( ) ( ) ( )( ) i e i i i i i i g k m k  =  +   =  +   −  ， 故 S E= A E= A A E ( ) ( )( ) i e i i i i −  −  −  g k 因 为 ( ) A E i e − i 限制在 Mi 内变为 0 ， 故 S E −i 限制在 Mi 内变为 0 ，亦即有 S E | | M i M i i =  ，而 V M M M =    1 2 s ，于是 S 的矩阵可对角化，即 S 为 V 内的半单 线性变换。另一方面， N A A A A E A A E ( ) ( ) ( )( ) i e i i i = = − = −  − −  h g k 因为 ( ) A E i e − i 限制在 Mi 内变为 0 ，故 N A E | ( ) | M i M i i = −  为 Mi 内的幂零线性变换，而 V M M M =    1 2 s ，由此可知 N 为 V 内的幂零线性变换。 下面来证唯一性。 假如又有 V 内的半单线性变换 S1 ，幂零线性变换 N1 ，满足条件。那么： （a） S1 与 N1 显然与 A 可交换，而 S A N A = = g h ( ), ( ) ，故它们也可与 S ，N 交换。 对于任意 Mi 有 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0. 1 1 1 1 A E S S A E A E N N A E i i i i e e i i e e i i −   = −   = −   = −   = 故 ( ) ( 1,2,..., ) A E i e M Ker i s i i = − =  为 A,S,N,S ,N1 1 的公共不变子空间。令 L=N N− 1 ， 则 Mi 也是 L 的不变子空间， N ， N1 均幂零且可交换，故 L 也幂零，而 Mi 内 S= Ei ，故 在 Mi 内有 ( ) S S N N E L 1 1 = + − =  + i 根据第七章关于 Jordan 标准型的讨论我们有：在 Mi 内存在一组基，在该组基下 | S1 Mi 的矩 阵成 Jordan 形，其主对角线上的元素全为 i ，把各 Mi 中的基合并为 V 的基，则在此基下 S1 的矩阵成 Jordan 形，主对角线元素为 1 2 , ,...,    s K ，即 S1 的特征多项式的根全属于 K 。 （b）这样 S1 的矩阵可对角化，从而 | S1 Mi 的矩阵也可对角化（见第四章）。但 | S1 Mi 仅 有一个特征值 i ，于是 | | S E=S 1 M i M i i =  由于 V M M M =    1 2 s ，所以又上式知 S S 1 = ，从而 N N= 1 。唯一性得证