例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根 证设f(x)=x3-5x+1,则∫(x)在0,1连续, 且f(0)=1,f(1)=-3 由介值定理 彐xo∈(0,1使∫(x0)=0.即为方程的小于1的正实根 设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使∫(x1)=0. f(x)在x0,x之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个5(在x,x1之间,使得∫"()=0 但∫'(x)=5(x4-1)<0、(x∈(0,1)矛盾,为唯一实根例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0.  x0  使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1  x1  x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , ,  f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f  x = x −  0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根