第四节多元复合函数求导法则 教学目的:掌握多元函数的求导法则,会求多元函数的导数,掌握全微分形 式不变性 教学重点:针对多元函数的表达状态(参数方程、复合函数),能够求其导 函数 教学难点:抽象复合函数的求导 教学内容 多元复合函数与隐函数的求导是多元函数微分学中的一个重要内容本届就是要把一元 函数微分学中的求导法则推广到多元函数中去 、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理如果函数=如及V=()都在点t可导,函数z=f(a,0)在对应点(,)具 有连续偏导数,则复合函数z=f),(2)在点t可导,且其导数可用下列公式计 算 dt a dt t a dt 证设t获得增量△,这时4=0(、ν=()的对应增量为△a、△ν,由此,函 数z=f(a,y)对应地获得增量△z.根据假定,函数z=f(a,1)在点(x,ν)具有连续偏 导数,于是由第三节公式(6有 az a△a+aAv+E1 E2△v 这里,当△→0,△→0时,61→0,E2→0 将上式两边各除以Δt,得 At= as At+a At+E1 At +E1 At 因为当△t→>0时,△→0,△v→0,Δt→d,M→dt,所以 盘t=atdt+ 这就证明了复合函数z=),()在点t可导,且其导数可用公式(1)计算.证 毕 用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形.例如, z=f(a,,,a=)、v=(t),=a(4)复合而得复合函数 J[ot),(t),a()] 则在与定理相类似的条件下,这复合函数在点t可导,且其导数可用下列公式计算 du az dy az da dt at dt+ a dt+ aw dt 在公式(1)及(2)中的导数d称为全导数第四节 多元复合函数求导法则 教学目的：掌握多元函数的求导法则，会求多元函数的导数，掌握全微分形 式不变性. 教学重点：针对多元函数的表达状态（参数方程、复合函数），能够求其导 函数. 教学难点：抽象复合函数的求导 教学内容： 多元复合函数与隐函数的求导是多元函数微分学中的一个重要内容.本届就是要把一元 函数微分学中的求导法则推广到多元函数中去. 1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理 如果函数 及 都在点 可导，函数 在对应点 具 有连续偏导数，则复合函数 在点 可导，且其导数可用下列公式计 算： ＝ ＋ ． 证 设 获得增量 ，这时 的对应增量为 、 ，由此，函 数 对应地获得增量 ．根据假定，函数 在点 具有连续偏 导数，于是由第三节公式 有 这里，当 ， 时， ， ． 将上式两边各除以 ，得 ＝ ＋ ＋ ＋ ． 因为当 时， ， ， ， ，所以 = + 这就证明了复合函数 在点 可导，且其导数可用公式 计算．证 毕． 用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形．例如，设 、 ， 复合而得复合函数 则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点 可导，且其导数可用下列公式计算 ＝ ＋ ＋ ． 在公式 及 中的导数 称为全导数．