2020-2021学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数()》期末考试卷 性相关证明:必可由1,…,线丝人…、O线性无关,a1,,m,B线 三、(6分)设α1,α2,…,αxm,β是线性空间v的向量, 四、(12分)设U={A∈F2×2AB=BA},其中 B 11 (1)证明:U是F2×2的子空间; (2)求U的一个基,并给出证明; (3)将(2)的基扩为F2×2的基 五、(12分)设A∈FX且A为可逆矩阵,A= A .V,V2分别是A1X=O和A2X=O的解空间 证明 六、(12分)设dmV=n,V是V的子空间 (1)若dimV≥号,证明存在V的子空间W,W,使得 V=V1⊕W=V⊕W且W∩W2=O; (2)问dmV<时,结论是否成立?并说明理由 七、(12分)设φ是V到U的线性映射,证明存在U到V的线性映射v,使得vqy=v 八、(10分)设是2n维线性空间V的线性变换.证明:Imo=Kero的充分必要条件是存在v的一 O E 个基,使得σ在这个基下的矩阵为 附加题(10分)设线性空间V=U⊕W,其中dmU=k.对于U到W的线性映射q,定义 F={u+q()|u∈U 设S是V的k维子空间证明:存在U到W的线性映射φ使得S=Iφ的充分必要条件是S∩W=0 第3页,共3页2020-2021Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú n!(6©) α1,α2,··· ,αm,β¥Ç5òmVï˛, Öα1,α2, ··· ,αmÇ5Ã', α1,α2,··· ,αm,βÇ 5É', y²: β7ådα1,α2,··· ,αmÇ5L—. o!(12©) U = {A ∈ F 2×2 |AB = BA}, Ÿ• B = 1 2 1 1 ! . (1) y²: U¥F 2×2fòm; (2) ¶Uòáƒ, øâ—y²; (3) Ú(2)ƒ*èF 2×2ƒ. !(12©) A ∈ F n×nÖAèå_› , A = A1 A2 ! . V1,V2©O¥A1X = O⁄A2X = O)òm. y²: F n = V1 MV2. 8!(12©) dimV = n, V1¥Vfòm. (1) edimV1 ≥ n 2 , y²3VfòmW1,W2, ¶ V = V1 LW1 = V1 LW2ÖW1 T W2 = O; (2) ØdimV1 < n 2û, (ÿ¥ƒ§·? ø`²nd. ‘!(12©) ϕ¥VUÇ5N, y²3UVÇ5Nψ, ¶ψϕψ = ψ. l!(10©) σ¥2nëÇ5òmVÇ5CÜ. y²: Imσ = Kerσø©7á^á¥3Vò áƒ, ¶σ3˘áƒe› è O En O O ! . N\K (10©) Ç5òmV = U LW, Ÿ•dimU = k. ÈuUWÇ5Nϕ, ½¬ Γϕ = {u+ϕ(u)|u ∈ U}. S¥Vkëfòm. y²: 3UWÇ5Nϕ¶S = Γϕø©7á^á¥S T W = 0. 13ê,
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