《数学分析》教案】 第九章定积分 海南大学数学系 注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如F(x):在[a,b)上连续，在(a,b) 内可导，且F'(x)=fx,x∈(a,b)。而fx)只要在[a,b]上可积即可 注2：本定理对F(x)的要求是多余的。 设fx)在[a,b)可积（不一定连续），又设F()在[a,b)上连续，并且在(a,b)上， F(x)=()F(=F()-F(a) 证：任给[a,一分割△：a=<名<<x=b,由Lagrange中值定理 Fb)-F(a)=∑fn:)△ ,n∈(x,x)。 因了在a,1可积，令1=A→0，则上式右边→4.所以 F(b)-F(a)=['f(x)dx 例1、利用牛顿一莱布尼茨公式计算下列定积分： Drh(a为整数：2)空(0a:3)eh: 4)∫sinxdx:5)xW4-xk. 注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。 11 例2、利用定积分求极限：▣十n十2+分-J. 分析：解题要领主要是利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的 形式。 课堂练习：P206T1(1)入(3)、(5)：P207T2(1)、(4)。 作业：P206T1(2、(4)、(6、(8):P207T2(2)、(3) 2 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 注 1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 F(x) ：在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 F(x) = f (x), x (a,b) 。而 f (x) 只要在 [a,b] 上可积即可。 注 2：本定理对 F(x) 的要求是多余的。 设 f (x) 在 [a,b] 可积（不一定 连续），又设 F(x) 在 [a,b] 上连续，并且在 (a,b) 上， F(x) = f (x) ，则 f (x)dx F(x) F(b) F(a) b a b a = = −  。 证： 任给 [a,b] 一分割  : a = x0  x1  xn = b ，由 Lagrange 中值定理 = − =  n k k k F b F a f x 1 ( ) ( ) ( ) ， ( , ) k k 1 k x x   − 。 因 f 在 [a,b] 可积，令 max 0 1 =  →   k k n  x ，则上式右边 →  b a f (x)dx 。所以  − = b a F(b) F(a) f (x)dx 。 例 1、 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： 1）  b a n x dx （n 为整数）； 2）  b a x dx 2 （0<a<b）； 3）  b a x e dx ； 4）   0 sin xdx ； 5）  − 2 0 2 x 4 x dx . 注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。 例 2、 利用定积分求极限： J n n n n + + = + + → + ) 2 1 2 1 1 1 lim (  . 分析：解题要领主要是利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的 形式。 课堂练习：P206T1（1）、（3）、（5）；P207T2（1）、（4）。 作业：P206T1（2）、（4）、（6）、（8）；P207T2（2）、（3）