《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §2牛顿一莱布尼茨公式 教学目标：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式 教学内容：牛顿一莱布尼茨公式. (1)基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式. (②)较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限. 教学建议： (1)要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式. (2)利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种 类型的题目。 教学过程： 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为定积分 的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。 定理9-1若函数fx)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b)]上可积，且 fe达=Fb)-Fa 这即为牛顿一莱布尼茨公式，也常记为[fx)d=F(x)=F(b)-F(a)。 证：给定a,任意一个分割：△：Q=<x<<x,=b, F(6)-F(a)=F()-F(f(m )Ax 这里△，=-x,h∈x,x】,用了Lagrange中值定理。feCa,由Cantor定理， /在a,一致连续，所以V6>0,36>0,只要5.nea,5-小<0，就有 6-a. 于是，当2=A,<6时，对后l,有 2Gi,-Fo-Fo-2-a.Ake」《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 §2 牛顿—莱布尼茨公式 教学目标：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式． 教学内容：牛顿—莱布尼茨公式． (1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式． (2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限． 教学建议： (1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式． (2) 利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种 类型的题目． 教学过程： 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分 的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。 定理 9-1 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，且存在原函数 F(x) ，则 f (x) 在 [a,b] 上可积，且  = − b a f (x)dx F(b) F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为  = = − b a b a f (x)dx F(x) F(b) F(a) 。 证： 给定 [a,b] 任意一个分割：  : a = x0  x1  xn = b，    = = − = − − =  n k k k n k k k F b F a F x F x f x 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ， 这里  k = k − k−1 x x x ， [ , ] k k 1 k x x   − ，用了 Lagrange 中值定理。f (x) C[a,b] ，由 Cantor 定理， f 在 [a,b] 一致连续，所以   0 ，   0 ，只要 , [a,b] ，  −   ，就有 b a f f − −   ( ) () 。 于是，当  =      k k n x 1 max 时，对 [ , ] k k 1 k x x   − ，有    −  −  =   −     = = n k k k k n k k k f x F b F a f f x 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )