解0(0300(8 oBI=ABr 10八(00)(-10 2B1+0B2-1B3+0B4 (2分) 2=AB2 (2分) 10八00 =0B1+2B2+0β3-1B4 21)(00)(10 oB3=AF (2分) 10J(10)(00 1βn+0β2+0B3+0B4 21)(00)(0 ;=AB4= =0B1+1B2+0B3+0β4 (2分) -10八(01)00 2010 0201 G在基{B,B2,B3,P4}下的矩阵为 4分) 1000 0-100 五、(此题12分,每小题6分)①设A,B是n×n矩阵,证明:如果B是可逆的, 则AB~BA ②设A∈ Matnxn(F,g(x)∈Fx].证明:如果λ是A的一个特征值,则g(0) 是g(A)的一个特征值. 证①令C=B1,对AB右乘B,左乘B得 B(ABB=BA 所以AB~BA (6分) 证②如果λ是n×n矩阵A的一个特征值,则存在非零n维向量ξ使A2=M02 从而 A2=A0)=02,A32=032,…,Ak2=0k 说明λd是矩阵Ak的特征值, ix g(x=akx+ak-1xk-1-+.+ao 则g(A)2=(aA+a-Ak1+.+aA+aE)=g(λ0)ξ 所以g(0)是g(A)的一个特征值 (6分) 六、(12分)设A=010,在实数域R上,矩阵A是否可对角化?如果A可 对角化,则求可逆矩阵C,使CAC是对角矩阵(写出相应的对角矩阵) 第3页共6页第 3 页 共 6 页 解 记β1=       0 0 1 0 ，β2=       0 0 0 1 ，β3=       1 0 0 0 ，β4=       0 1 0 0 ， σβ1=Aβ1=      1 0 2 1       0 0 1 0 =      1 0 2 0 =2β1+0β2-1β3+0β4 （2 分） σβ2=Aβ2=      1 0 2 1       0 0 0 1 =       0 1 0 2 =0β1+2β2+0β3-1β4 （2 分） σβ3=Aβ3=      1 0 2 1       1 0 0 0 =       0 0 1 0 =1β1+0β2+0β3+0β4 （2 分） σβ4=Aβ4=      1 0 2 1       0 1 0 0 =       0 0 0 1 =0β1+1β2+0β3+0β4 （2 分） σ在基{β1，β2，β3，β4}下的矩阵为         0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 1 2 0 1 0 （4 分） 五、（此题 12 分，每小题 6 分）①设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：如果 B 是可逆的， 则 AB~BA． ②设 A∈Matn×n(F)，g(x)∈F[x]．证明：如果λ0 是 A 的一个特征值，则 g(λ0) 是 g(A)的一个特征值． 证 ①令 C= B-1，对 AB 右乘 B-1，左乘 B 得 B(AB)B-1=BA 所以 AB~BA． （6 分） 证 ②如果λ0是 n×n 矩阵 A 的一个特征值，则存在非零 n 维向量ξ使 Aξ=λ0ξ， 从而 A2ξ=A(λ0ξ)= λ0 2ξ ，A3ξ= λ0 3ξ，...，Akξ= λ0 kξ 说明λ0 k是矩阵 Ak的特征值， 设 g(x)=akx k+ak-1x k-1+...+a1x+a0 则 g(A)ξ= (akAk+ak-1Ak-1+...+a1A+a0E)ξ= g(λ0) ξ 所以 g(λ0)是 g(A)的一个特征值． （6 分） 六、（12 分）设 A=       1 0 0 0 1 0 0 0 1 ，在实数域 R 上，矩阵 A 是否可对角化？如果 A 可 对角化，则求可逆矩阵 C，使 C-1AC 是对角矩阵（写出相应的对角矩阵）．