x=p(x)=p(am)=(p(a)"=a"∈(a),即(a)三G。从而G=(a),G也是循环群。10分 三、应用、探索题（每小题10分，共30分） 15、写出8阶循环群G=(a)的自同构群AutG。 解：G=(a={e,aa2,a3,a,a,a,a},其自同构群含有4个元素， a Au1€{g2,g,g，其 中 e a2 a 3 91= e a2 03 e aaaaaa a e a a'aaaaa 2= le aaaaaa as 3= e aa a'a a as a e aaaa asas a 4= le a asas aa a2 ..10分 a 16、设R为所有有理数对(x1,x2)组成的集合，加法和乘法分别为 (a1,a2)t(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2) (a1,a2)b1,b2)尸(a1b1,a2b2) 容易知道R是环，回答下列问题：R的零元是谁？元素(X,y)的负元是谁？R是否可换？ R有无单位元？哪些元素可逆？ 解：R的零元是(0,0)，元素(x,y)的负元是(-x,y),R可换，R的单位元是(1,1)， 当y0时元素x可逆，逆元为（日}。10分 17、设M={a,b,c,d},其中a= 0-[d-[0a-[d] 在M上考虑矩阵乘法，对其进行详细全面研究。 解：有乘法表 ● a d 8 6 c d b 6 a d c d a b d c b a 所以矩阵乘法是M上运算，自然满足结合律，a是单位元，每个元素的逆元是自 己，所以是群。 是交换群。 a的阶为1，b、c、d的阶为2。 有两个平凡子群{a}、M,有3个2阶非平凡子群{a,b}、{a,c}、{a,d}。 此群与Kein4元群同构，非循环群。其自同构群与S3同构。 能够答对是群，再加上任何两条得10分，否则酌情减分( ) ( ) ( ( )) m m m x x a a a a          ，即    a G 。从而 G a    ，G 也是循环群。10 分 三、应用、探索题（每小题 10 分，共 30 分） 15、写出 8 阶循环群 G a    的自同构群 AutG。 解 ： 2 3 4 5 6 7 G a e, a, a , a , a , a a a    { , , } ， 其 自 同 构 群 含 有 4 个 元素， 1 2 3 4 AutG , { , , }     ，其中 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 e a a a a a a a e a a a a a a a           ， 2 3 4 5 6 7 2 3 6 4 7 2 5 e a a a a a a a e a a a a a a a         ， 2 3 4 5 6 7 3 5 2 7 4 6 3 e a a a a a a a e a a a a a a a         ， 2 3 4 5 6 7 4 7 6 5 4 3 2 e a a a a a a a e a a a a a a a         。……10 分 16、设 R 为所有有理数对(x1, x2)组成的集合，加法和乘法分别为 (a1, a2)+(b1, b2)=(a1+b1, a2+b2) (a1, a2)(b1, b2)=(a1b1, a2b2) 容易知道 R 是环，回答下列问题：R 的零元是谁？元素(x, y)的负元是谁？R 是否可换？ R 有无单位元？哪些元素可逆？ 解：R 的零元是(0, 0)，元素(x, y)的负元是(-x, -y)，R 可换，R 的单位元是(1, 1)， 当 xy≠0 时元素(x, y)可逆，逆元为 1 1 ( , ) x y 。……10 分 17、设 M={a, b, c, d}，其中 1 0 0 1 a        ， 1 0 0 1 b          ， 1 0 0 1 c         ， 1 0 0 1 d         ， 在 M 上考虑矩阵乘法，对其进行详细全面研究。 解：有乘法表  a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a 所以矩阵乘法是 M 上运算，自然满足结合律，a 是单位元，每个元素的逆元是自 己，所以是群。 是交换群。 a 的阶为 1，b、c、d 的阶为 2。 有两个平凡子群{a}、M，有 3 个 2 阶非平凡子群{a, b}、{a, c}、{a, d}。 此群与 Klein4 元群同构，非循环群。其自同构群与 S3 同构。 ……能够答对是群，再加上任何两条得 10 分，否则酌情减分