大学物理练习册一真空中的静电场 x>2时「E2d=2E4AS=1.2p2As,:E2= E (2)平板中央x=0,∴E0=0 平板内与表面相距0.lcm处,x=0.15cm E=mX10×10-×15×10-3 8.85×10-2 =1.69×104v/m 713一个电荷体密度为p(常量)的球体。(1)证明球内距球心r处一点的电场强度为E=PF;(2) 若在球内挖去一个小球,如图713所示,证明小球空腔内的电场是匀强电场E=a,式中a是 球心到空腔中心的距离矢量。 证:(1)作与球体同心的球面为高斯面,根据高斯定理 5E.ds=Jpd即E4m2=P E- p 矢量式E=P 尸得证 (2)填充法:设在空腔中填充电荷密度分别为P和-P的电荷球体,形成电荷密度分别为P和-P的 大球体和小球体 对腔内任一点P(如图),由(1)的结果有 球E=P 小球 E=E1n+E2p=(-P)=Ba得证 静电场的环路定理 7-14若电场中某一部分电场线的形状是以O点为中心的同心圆弧。证明该部分上各点的电场强度都应与该 点离O点的距离成反比,即E1r1=E2r2 证:作一回路abcd,如图。根据静电场环路定理 ∮E-d=E、d7+E2d=E-E2=0 即E1=E2l2 图7-14 l1=r1l2=F2,∴E1n=E22得证大学物理练习册—真空中的静电场 ∆S ∆S 0 S d x x 2 d x > 时 S d E S E S S ⋅ = ∆ = ⋅ ⋅ ∆ ∫ 2 2 1 d 2 0 2 2 ρ ε v v ， 0 2 ε ρd ∴ E = （2）平板中央 x = 0，∴ E0 = 0 平板内与表面相距 0.1cm 处， x = 0.15cm 4 12 4 3 0 1.69 10 8.85 10 1.0 10 1.5 10 = × × × × × ∴ = = − − − ε ρx E V/m 7-13 一个电荷体密度为 ρ（常量）的球体。（1）证明球内距球心 r 处一点的电场强度为 E r v v 0 3ε ρ = ；（2） 若在球内挖去一个小球，如图 7-13 所示，证明小球空腔内的电场是匀强电场 E a v v 3 0 ε ρ = ，式中a v 是 球心到空腔中心的距离矢量。 R O a O’ v r v r' v P 证：（1）作与球体同心的球面为高斯面，根据高斯定理 ∫ ∫ ⋅ = S V E S dV 1 d 0 ρ ε v v 即 3 0 2 3 4 E 4 r πr ε ρ ⋅ π = ⋅ E r 0 3ε ρ ∴ = 矢量式 E r v v 0 3ε ρ = 得证 （2）填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为 ρ 和- ρ 的电荷球体，形成电荷密度分别为 ρ 和- ρ 的 大球体和小球体。 对腔内任一点 P（如图），由（1）的结果有 大球 E r P v v 0 1 3ε ρ = ； 小球 ' 3 0 2 E r P v v ε ρ = − E E P E P r r a v v v v v v 0 0 1 2 3 ( ') 3 ε ρ ε ρ = + = − = 得证 静电场的环路定理 7-14 若电场中某一部分电场线的形状是以O点为中心的同心圆弧。证明该部分上各点的电场强度都应与该 点离O点的距离成反比，即E1 r1 = E2 r2 。 O θ r2 证：作一回路 r1 abcd，如图。根据静电场环路定理 d d d 0 ⋅ = 1 ⋅ + 2 ⋅ = 1 1 − 2 2 = ∫ ∫ ∫ E l E l E l E l E l bc da v v v v v v a b c d 1l 2l 2r 1 θ r O 即 1 1 2 2 E l = E l 图 7-14 Ql1 = r1 θ l2 = r2θ ， 1 1 2 2 ∴E r = E r 得证 29