三、1.4 2品 4.单调增加区间(-0，)和(3，+)，单调减少区间(L,3),(-0,0)是凸的，(0，)和 化+树)是四的，极小值儿一头，拐点Q0,铅直渐近线x=1,斜渐近线y=x+2. 5.4=235 四、f(x)在[a,b)](0<a<b)满足拉格朗日中值定理，从而存在一点5∈(a,b),使 -@-n0-o.版为0-r0甲 f)-fa-I-if(m 上式只要)和g)=在a,上应用柯西中值定理即可得到所要证明的结果。 五、证法1设f)=e-2+),显然f)在L+∞)上连续且可导，fx)=e-ex, 在几，+o)上连续且可导，在l+o)上有f(x)=e-e>0,所以f(x)单调递增，当x>1 时，f'(x)>f")=0,从而有f(x)单调递增，所以x>1时，fx)>f)=0,即 e>r+0. 证法2设f)=,g()=子，显然它们在，x)上满足柯西中值定理条件，所以有 -g国-g四g帽元，1<5<x.再令p)-,显然()在L+切)上连续且 e-e-fx)-f四-'且-e 可导，p=-一e≥0.所以在L+∞)单调递增.当x>1时，以)>0=e.故在 2 5>1时有 专=8>e,即e>+n 证法3展开fx)=e为x=1点处带拉格朗日余项的二阶泰勒公式 e=e+x-+x-+x-以，1<5<， 所以e>e+-+x-x2+). 六、证明()令(x)=fx)-x,显然它在0，上连续，又)=f)-1=-1<0, 17 三、1． 1 4 2． 2 1 ( ) 2 [ ( )] f a f a  −  3. 1 12 − 4． 单调增加区间 ( ,1) − 和 (3, ) + , 单调减少区间 (1,3) ， ( ,0) − 是凸的, (0,1) 和 (1, ) + 是凹的，极小值 3 27 4 x y = = , 拐点 (0,0) , 铅直渐近线: x = 1, 斜渐近线: y x = + 2 ． ５． 7 4 23 e a e = 四、 f x( ) 在 [ , ] a b (0 )   a b 满足拉格朗日中值定理, 从而存在一点  ( , ) a b , 使 f b f a f b a ( ) ( ) ( )( ) − = −   , 故问题归结为 2 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a ab   − =  − ,即 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f b f a f f b a     −  = = −  − − 上式只要 f x( ) 和 1 g x( ) x = 在 [ , ] a b 上应用柯西中值定理即可得到所要证明的结果． 五、证法 1 设 2 ( ) ( 1) 2 x e f x e x = − + ,显然 f x( ) 在 [1, ) + 上连续且可导， ( ) x f x e ex  = − ， 在 [1, ) + 上连续且可导，在 [1, ) + 上有 ( ) 0 x f x e e  = −  ，所以 f x ( ) 单调递增，当 x  1 时, f x f   ( ) (1) 0  = ，从而有 f x( ) 单调递增，所以 x  1 时, f x f ( ) (1) 0  = ，即 2 ( 1) 2 x e e x  + . 证法 2 设 ( ) t f t e = ， 2 g t t ( ) = ，显然它们在 [1, ] x 上满足柯西中值定理条件，所以有 2 ( ) (1) ( ) 1 ( ) (1) ( ) 2 x e e f x f f e x g x g g     − −  = = = − −  , 1   x .再令 ( ) x e x x  = ，显然 ( ) x 在 [1, ) + 上连续且 可导, 2 ( 1) ( ) 0 x x e x x  −  =  ．所以 ( ) x 在 [1, ) + 单调递增．当 x  1 时,  ( ) (1) x e  = ．故在  1 时有 ( ) e e     =  ，即 2 ( 1) 2 x e e x  + . 证法 3 展开 ( ) x f x e = 为 x = 1 点处带拉格朗日余项的二阶泰勒公式 2 3 ( 1) ( 1) ( 1) 2! 3! x e e e e e x x x  = + − + − + − , 1   x ， 所以 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 2! 2 x e e e e e x x x  + − + − = + . 六、证明(1) 令  = − ( ) ( ) x f x x , 显然它在 [0,1] 上连续, 又  = − = −  (1) (1) 1 1 0 f