[,满足罗尔定理条件，于是至少存在一点E∈(：，x)c(0,),使得∫()=0，而当 x∈(0,1)时，了(x)=3x2-3<0,这与f()=0矛盾，故假设不成立，命题得证. 五、设F(x)=fx)-x,易见F(x)在[0，上连续，在(0，)内可导，又F四=-1<0. F(宁=>0，由零点定理可知，至少存在一点刀∈（分），使F)=0,而F0)=0,由罗尔 定理可知至少存在一点ξ∈(0，)，使F()=0,即f'()=1,而(0，)c(0,),从而可知至少 存在一点5∈(0，)，使(5)=1 六、提示：构造辅助函数F(x)=lnfx),对F(x)在[a,b]用拉格朗日中值定理即可证. 七、设-m,e<<心，则p-2-产p-2,所以 当xe时，p国<0，故p单调减小.从面当e<<e时，p>pie)=产-兰0， 即当e<x<e2时，g(x)单调增加.因此当e<a<b<e2时，p(b)>o(a),即 m2b-号b>lm2a-手a.故m2b-n2a>4b-a). 八、本题实际是求使窗户面积最大的圆的半径r和h的值，设窗的面积为S,则有 5=号+2油满足条件1=和+2动+2，解出0-2-列代入，有 S0)=号+0-2m.0er2令S=0,得雅-的驻点r十由铜图 的实际意义知道当r= 十4时，5的面积最大，通过的光线最充足 B级自测题 一、选择题 1.c. 2.D. 3.D. 4.C.5.c 二、填空题 1.1680. 2 3.1. 4.+- 5.le]. 6 6 1 2 [ , ] x x , 满足罗尔定理条件, 于是至少存在一点 1 2    ( , ) (0,1) x x ,使得 f ( ) 0  = , 而当 x(0,1) 时, 2 f x x ( ) 3 3 0 = −  ,这与 f ( ) 0  = 矛盾, 故假设不成立, 命题得证. 五、设 F x f x x ( ) ( ) = − , 易见 F x( ) 在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 又 F(1) 1 0 = −  , 1 1 ( ) 0 2 2 F =  , 由零点定理可知,至少存在一点 1 ( ,1) 2   ,使 F( ) 0  = ,而 F(0) 0 = ,由罗尔 定理可知至少存在一点   (0, ) ,使 F( ) 0  = ,即 f ( ) 1  = , 而 (0, ) (0,1)   ,从而可知至少 存在一点  (0,1), 使 f ( ) 1  = 六、提示:构造辅助函数 F x f x ( ) ln ( ) = , 对 F x( ) 在 [ , ] a b 用拉格朗日中值定理即可证. 七、设 2 2 4 ( ) ln x x x e  = − ， 2 e x e   ，则 2 ln 4 ( ) 2 x x x e  = − ， 2 1 ln ( ) 2 x x x  −  = ，所以 当 x e  时， ( ) 0 x  ，故 ( ) x 单调减小．从而当 2 e x e   时， 2 2 2 4 4 ( ) ( ) 0 x e e e      = − = ， 即当 2 e x e   时， ( ) x 单调增加．因此当 2 e a b e    时，   ( ) ( ) b a  ，即 2 2 2 2 4 4 ln ln b b a a e e −  − ．故 2 2 2 4 ln ln ( ) b a b a e −  − ． 八、 本题实际是求使窗户面积最大的圆的半径 r 和 h 的值, 设窗的面积为 S , 则有 2 2 2 r S rh  = + 满足条件 l r h r = + +  2 2 , 解出 1 ( 2 ) 2 h l r r = − −  代入 S , 得 2 ( ) ( 2 ) 2 r S r r l r r  = + − − , 0 2 l r    + , 令 S r( ) 0 = , 得唯一的驻点 4 l r  = + ,由问题 的实际意义知道当 , 4 4 l l r h   = = + + 时, S 的面积最大, 通过的光线最充足. B 级自测题 一、选择题 1． C． 2．D． 3．D． 4．C． 5．C． 二、填空题 1．1680． 2． 1 2 − ； 3．1． 4． 1 1 ( 1), n n e + − + − ． 5． 1 [1, ] e e ．