第二学期第二十六次课 232用一个多项式的根和另一个多项式计算结式的公式 命题设 f(x)=anx"+a1x"-+…+an(a0≠0 x) x"+bx+…+ 如果f(x),g(x)在C[x]中的分解式为 f(x)=a0(x-a1) (1) g(x)=b(x-B1)…(x-Bn) 那么 R(/,g)=ao∏g(a1)=(-1)b∏1f(B)(*) 证明在数域K上的n+m+1元多项式环Kx,y12…yn,二12…,=m]中,令 x,y1…y)=a0(x-y1)…(x-yn)( 8(x,-1,…,=n)=b2(x--1)…(x-=m)(3) 把∫按x的降幂排列,则x"的系数为an,x得系数为 )=(-1)a4(y12…,yn),k=1, 同理,把g按x的降幂排列,则xm的系数为b,x"的系数为 b(=1;…,n)=(-1)b(12…,E)k=1,2,…,m 于是有 R(f,8)= 4,n)…nn…n(4) 显然,R(,8)∈KL1…yn,x1…二n]。下面我们来说明下式成立:第二学期第二十六次课 12.3.2 用一个多项式的根和另一个多项式计算结式的公式 命题 设 1 0 1 0 1 0 1 0 ( ) ( 0) ( ) ( 0) n n n m m m f x a x a x a a g x b x b x b b − − = + + +  = + + +  如果 f x g x ( ), ( ) 在 C[ ] x 中的分解式为 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n m f x a x x g x b x x     = − − = − − （1） 那么 0 0 1 1 ( , ) ( ) ( 1) ( ) n m m mn n i j i j R f g a g b f   = = = = −   （*） 证明 在数域 K 上的 n m+ +1 元多项式环 1 1 [ , ,..., , ,..., ] K x y y z z n m 中，令 1 0 1 1 0 1 ( , , , ) ( ) ( ) (2) ( , , , ) ( ) ( ) (3) n n m m f x y y a x y x y g x z z b x z x z = − − = − − 把 f 按 x 的降幂排列，则 n x 的系数为 0 a ， n k x − 得系数为： 1 0 1 ( , , ) ( 1) ( , , ), 1,2,..., k k n k n a y y a y y k n = − =  同理，把 g 按 x 的降幂排列，则 m x 的系数为 0 b ， m k x − 的系数为： 1 0 1 ( , , ) ( 1) ( , , ), 1,2,..., k k m k m b z z b z z k m = − =  于是有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ( , ) (4) a a y y a y y a a y y a y y a a y y a y y b b z z b z z b b z z b z z b b z z b z z n n n n n n n n n m m m m m m m m m R f g = 显然， 1 1 ( , ) [ , , , ] R f g K y y z z  n m 。下面我们来说明下式成立：