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.190 北京科技大学学报 第30卷 C:-E=12广2 EwJoi(x)dx (13) 12 M 1xdx CMEw ot() (14) 1/2 M C19-,=C1- 12 (15) 式中，E为材料的弹性模量，t(x)为厚度，0为宽 Mu 度，为长度，将平面内和平面外的各柔度项代入 式(7)和(8)，即可得到表示转动能力和转动精度的 各种轮廓形式柔性铰链的柔度矩阵8]. 2柔性铰链的多目标优化建模 图1加载力、力矩和铰链的变形示意图 Fig.I Relation among the deformation.force and moment 2.1设计变量 柔性铰链的材料和几何结构是决定柔性铰链性 0 能的关键因素，本文假设柔性铰链的材料已经确 (2) u C 定，即弹性模量E和密度P已知，对其结构参数进 其中， 行优化设计，直圆型柔性铰链结构参数如图2所 =(uis,uly.h) (3) 示，r、t和w分别表示柔性铰链的半径、最小厚度 =(u1.,a,)T (4) 与宽度，铰链的长度为l(l=2r)·确定直圆型柔性 F=(Fx,Fly Mi:)T 铰链的设计变量为X=[x1,x2,x3]=(r,t,D) (5) FP=(FL,Mi)T (6) 则x一y平面内和x一y平面外的柔度矩阵分别为： C1x-F, 0 0 C 0 Cly_F, Cly_M. (7) 0 C10-5,C10-M, C1:-.C1:-M, C= (8) C10-￡C10-M 图2直圆型柔性铰链 式中，C1y-M,=C10-F,C1:-M,=C10-R:C1x-F表 Fig.2 Circular flexure hinge 示力F.作用下所引起的x方向的位移，C1,-M表示 2.2多目标优化函数 力矩M:作用下引起的y方向的位移变化量， 在外载荷作用下，直圆型柔性铰链所产生的运 C10-M,表示力矩M:作用下引起的z方向的转角， 动包括绕z轴的转动、沿x轴的位移、沿y轴的位 其余类推3；z表示沿x方向的位移，1，表示沿y 移以及x一y平面外的运动，沿x轴的位移、x一y 平面外的运动都是附加运动，越小表示其转动精度 方向的位移，0：表示绕z轴的转角，其余类推 越好；绕z轴的转动是所需要的运动，越大表示其 平面内的各柔度项为： 转动能力越好.根据前面的分析可知，柔性铰链所 (9) 产生的绕z轴的转动、沿x的位移、沿y轴的位移 =12x2 以及x一y平面外的运动与柔度矩阵有关[0].因此 Ciy-Et(x)sdx (10) 确定优化设计的目标函数为： o=是4r (1)绕z轴的转动能力最强，即C10-,和 (11) C10-F最大； 121 CiM-Eo (x)sdx (12) (②)沿x轴的位移最小，即C1x-F最小： 平面外的各柔度项为： (3)x-y平面外的运动最小，即C1:-F、图1 加载力、力矩和铰链的变形示意图 Fig．1 Relation among the deformationforce and moment u ip 1 u op 1 ＝ C ip 1 0 0 C op 1 F ip 1 F op 1 （2） 其中 u ip 1＝（ u1xu1yθ1z ） T （3） u op 1 ＝（ u1zθ1y） T （4） F ip 1＝（F1xF1yM1z ） T （5） F op 1 ＝（F1zM1y） T （6） 则 x—y 平面内和 x—y 平面外的柔度矩阵分别为： C ip 1＝ C1x— Fx 0 0 0 C1y— Fy C1y— Mz 0 C1θz — Fy C1θz — Mz （7） C op 1 ＝ C1z — Fz C1z — My C1θy— Fz C1θy— My （8） 式中C1y— Mz ＝ C1θz — FyC1z — My＝ C1θy— Fz；C1x— Fx表 示力Fx 作用下所引起的 x 方向的位移C1y— Mz表示 力矩 Mz 作用下引起的 y 方向的位移变化量 C1θz — Mz表示力矩 Mz 作用下引起的 z 方向的转角 其余类推［3］；u1x表示沿 x 方向的位移u1y表示沿 y 方向的位移θ1z表示绕 z 轴的转角其余类推． 平面内的各柔度项为： C1x— Fx＝ 1 Ew∫ l 0 1 t（ x） d x （9） C1y— Fy＝ 12 Ew∫ l 0 x 2 t（ x） 3d x （10） C1y— Mz＝ 12 Ew∫ l 0 x t（ x） 3d x （11） C1θz — Mz＝ 12 Ew∫ l 0 1 t（ x） 3d x （12） 平面外的各柔度项为： C1z — Fz＝ 12 Ew 3∫ l 0 x 2 t（ x） d x （13） C1z — My＝ 12 Ew 3∫ l 0 x t（ x） d x （14） C1θy— My＝ 12 w 2C1x— Fx （15） 式中E 为材料的弹性模量t （ x ）为厚度w 为宽 度l 为长度．将平面内和平面外的各柔度项代入 式（7）和（8）即可得到表示转动能力和转动精度的 各种轮廓形式柔性铰链的柔度矩阵［8—9］． 2 柔性铰链的多目标优化建模 2∙1 设计变量 柔性铰链的材料和几何结构是决定柔性铰链性 能的关键因素．本文假设柔性铰链的材料已经确 定即弹性模量 E 和密度ρ已知对其结构参数进 行优化设计．直圆型柔性铰链结构参数如图2所 示r、t 和 w 分别表示柔性铰链的半径、最小厚度 与宽度铰链的长度为 l（ l＝2r）．确定直圆型柔性 铰链的设计变量为 X＝［ x1x2x3］＝（ rtw）． 图2 直圆型柔性铰链 Fig．2 Circular flexure hinge 2∙2 多目标优化函数 在外载荷作用下直圆型柔性铰链所产生的运 动包括绕 z 轴的转动、沿 x 轴的位移、沿 y 轴的位 移以及 x—y 平面外的运动．沿 x 轴的位移、x—y 平面外的运动都是附加运动越小表示其转动精度 越好；绕 z 轴的转动是所需要的运动越大表示其 转动能力越好．根据前面的分析可知柔性铰链所 产生的绕 z 轴的转动、沿 x 的位移、沿 y 轴的位移 以及 x—y 平面外的运动与柔度矩阵有关［10］．因此 确定优化设计的目标函数为： （1） 绕 z 轴的转动能力最强即 C1θz — Mz 和 C1θz — Fy最大； （2） 沿 x 轴的位移最小即 C1x— Fx最小； （3） x — y 平面 外 的 运 动 最 小即 C1z — Fz、 ·190· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷