D0I:10.13374/1.issm100103.2008.02.017 第30卷第2期 北京科技大学学报 Vol.30 No.2 2008年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2008 柔性铰链运动性能多目标优化设计 邱丽芳南铁玲翁海珊 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要分析了表示柔性铰链运动性能的柔度矩阵，以影响其性能的关键因素即柔性铰链的结构参数为设计变量，提高柔性 铰链的转动性能为目标，建立了其多目标优化模型，并给出了基于Pwl内点惩罚函数法的直圆型柔性铰链优化设计实例： 优化结果说明该方法的有效性和实用性·对优化前后柔性铰链的运动性能进行了分析比较：结果表明，当施加一确定力时，优 化后柔性铰链的运动性能比优化前有了明显提高，达到了改善直圆型柔性铰链运动性能的目的 关键词柔性铰链；运动性能：结构参数；多目标优化 分类号TH122 Multi-objective optimization for rotation capacity of flexure hinges QIU Lifang,NAN Tieling,WENG Haishan School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT The compliance matrix describing the rotation capacity of flexure hinges was analyzed.A multi-objective optimization model was established to enhance the rotation capacity of flexure hinges with the important factors influencing the rotation capacity of flexure hinges as design variables.The optimal design model by using Powell inner point penalty function method was presented.and the design example of a circular flexure hinge was optimized based on the model.The optimal result indicates that the method is valid and practicable.The comparison of rotation capacity between before and after optimization shows that the performance of the flexure hinge after optimization is better. KEY WORDS flexure hinge:rotation capacity:structure parameters:multi-objective optimization 柔性铰链是全柔性机构的重要组成部分，具有 施加的力一定时，优化后柔性铰链的运动性能比优 体积小、无机械摩擦、无间隙、运动灵敏度高、导向精 化前的性能有了明显提高， 度高等诸多特点，在精密机械、精密测量、微纳米技 1柔性铰链的运动性能 术等领域应用广泛，并获得了前所未有的高精度和 稳定性-] 对于单轴柔性铰链，较链的加载力、力矩和铰链 柔性铰链在柔性机构中起着关键作用，文献 相应的变形如图1所示，铰链的左端固定，载荷加 [4]以减小应力为优化目标，对柔性铰链进行了优化 载在右端点1处，假设有弯矩M1,和M1:,剪切力 设计；文献[5一7]对由柔性铰链所构成的不同柔性 F1,和F1:,轴向力Fx,扭矩M1x 机构进行了优化，对柔性铰链运动性能进行多目标 根据卡式第二定理，利用能量和虚位移的方法 优化设计的研究尚未见报道，柔性铰链运动性能的 求柔性铰链在载荷作用下的变形量，即由卡式第二 优化对整个柔性机构的优化具有十分重要的意义， 定理可得柔性铰链的变形量为： 本文从柔性铰链运动性能的两个重要指标即转动能 u=CF (1) 力和转动精度入手，建立了直圆型柔性铰链的多目 式中，F为载荷矢量，“为变形量矢量，C为柔度特 标优化设计模型并进行了优化设计，结果表明，当 性矩阵 按照在xy平面内和xy平面外的运动特性， 收稿日期：2007-08-30修回日期：2007-10-31 将公式(1)写为： 基金项目：教育部科学技术研究重点项目资助(N。.106018) 作者简介：邱丽芳(1966-)，女，副教授
柔性铰链运动性能多目标优化设计 邱丽芳 南铁玲 翁海珊 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘 要 分析了表示柔性铰链运动性能的柔度矩阵．以影响其性能的关键因素即柔性铰链的结构参数为设计变量提高柔性 铰链的转动性能为目标建立了其多目标优化模型并给出了基于 Powell 内点惩罚函数法的直圆型柔性铰链优化设计实例； 优化结果说明该方法的有效性和实用性．对优化前后柔性铰链的运动性能进行了分析比较；结果表明当施加一确定力时优 化后柔性铰链的运动性能比优化前有了明显提高达到了改善直圆型柔性铰链运动性能的目的． 关键词 柔性铰链；运动性能；结构参数；多目标优化 分类号 T H122 Mult-i objective optimization for rotation capacity of flexure hinges QIU Lif angNA N TielingW ENG Haishan School of Mechanical EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he compliance matrix describing the rotation capacity of flexure hinges was analyzed．A mult-i objective optimization model was established to enhance the rotation capacity of flexure hinges with the important factors influencing the rotation capacity of flexure hinges as design variables．T he optimal design model by using Powell inner point penalty function method was presentedand the design example of a circular flexure hinge was optimized based on the model．T he optimal result indicates that the method is valid and practicable．T he comparison of rotation capacity between before and after optimization shows that the performance of the flexure hinge after optimization is better． KEY WORDS flexure hinge；rotation capacity；structure parameters；mult-i objective optimization 收稿日期：2007-08-30 修回日期：2007-10-31 基金项目：教育部科学技术研究重点项目资助（No．106018） 作者简介：邱丽芳（1966—）女副教授 柔性铰链是全柔性机构的重要组成部分具有 体积小、无机械摩擦、无间隙、运动灵敏度高、导向精 度高等诸多特点在精密机械、精密测量、微纳米技 术等领域应用广泛并获得了前所未有的高精度和 稳定性［1—3］． 柔性铰链在柔性机构中起着关键作用．文献 ［4］以减小应力为优化目标对柔性铰链进行了优化 设计；文献［5—7］对由柔性铰链所构成的不同柔性 机构进行了优化．对柔性铰链运动性能进行多目标 优化设计的研究尚未见报道．柔性铰链运动性能的 优化对整个柔性机构的优化具有十分重要的意义． 本文从柔性铰链运动性能的两个重要指标即转动能 力和转动精度入手建立了直圆型柔性铰链的多目 标优化设计模型并进行了优化设计．结果表明当 施加的力一定时优化后柔性铰链的运动性能比优 化前的性能有了明显提高． 1 柔性铰链的运动性能 对于单轴柔性铰链铰链的加载力、力矩和铰链 相应的变形如图1所示．铰链的左端固定载荷加 载在右端点1处．假设有弯矩 M1y和 M1z剪切力 F1y和 F1z轴向力 F1x扭矩 M1x． 根据卡式第二定理利用能量和虚位移的方法 求柔性铰链在载荷作用下的变形量即由卡式第二 定理可得柔性铰链的变形量为： u＝CF （1） 式中F 为载荷矢量u 为变形量矢量C 为柔度特 性矩阵． 按照在 x-y 平面内和 x-y 平面外的运动特性 将公式（1）写为： 第30卷 第2期 2008年 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．2 Feb．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．02．017
.190 北京科技大学学报 第30卷 C:-E=12广2 EwJoi(x)dx (13) 12 M 1xdx CMEw ot() (14) 1/2 M C19-,=C1- 12 (15) 式中，E为材料的弹性模量，t(x)为厚度，0为宽 Mu 度，为长度，将平面内和平面外的各柔度项代入 式(7)和(8)，即可得到表示转动能力和转动精度的 各种轮廓形式柔性铰链的柔度矩阵8]. 2柔性铰链的多目标优化建模 图1加载力、力矩和铰链的变形示意图 Fig.I Relation among the deformation.force and moment 2.1设计变量 柔性铰链的材料和几何结构是决定柔性铰链性 0 能的关键因素，本文假设柔性铰链的材料已经确 (2) u C 定，即弹性模量E和密度P已知，对其结构参数进 其中， 行优化设计，直圆型柔性铰链结构参数如图2所 =(uis,uly.h) (3) 示，r、t和w分别表示柔性铰链的半径、最小厚度 =(u1.,a,)T (4) 与宽度，铰链的长度为l(l=2r)·确定直圆型柔性 F=(Fx,Fly Mi:)T 铰链的设计变量为X=[x1,x2,x3]=(r,t,D) (5) FP=(FL,Mi)T (6) 则x一y平面内和x一y平面外的柔度矩阵分别为： C1x-F, 0 0 C 0 Cly_F, Cly_M. (7) 0 C10-5,C10-M, C1:-.C1:-M, C= (8) C10-￡C10-M 图2直圆型柔性铰链 式中，C1y-M,=C10-F,C1:-M,=C10-R:C1x-F表 Fig.2 Circular flexure hinge 示力F.作用下所引起的x方向的位移，C1,-M表示 2.2多目标优化函数 力矩M:作用下引起的y方向的位移变化量， 在外载荷作用下，直圆型柔性铰链所产生的运 C10-M,表示力矩M:作用下引起的z方向的转角， 动包括绕z轴的转动、沿x轴的位移、沿y轴的位 其余类推3；z表示沿x方向的位移，1，表示沿y 移以及x一y平面外的运动，沿x轴的位移、x一y 平面外的运动都是附加运动，越小表示其转动精度 方向的位移，0：表示绕z轴的转角，其余类推 越好；绕z轴的转动是所需要的运动，越大表示其 平面内的各柔度项为： 转动能力越好.根据前面的分析可知，柔性铰链所 (9) 产生的绕z轴的转动、沿x的位移、沿y轴的位移 =12x2 以及x一y平面外的运动与柔度矩阵有关[0].因此 Ciy-Et(x)sdx (10) 确定优化设计的目标函数为： o=是4r (1)绕z轴的转动能力最强，即C10-,和 (11) C10-F最大； 121 CiM-Eo (x)sdx (12) (②)沿x轴的位移最小，即C1x-F最小： 平面外的各柔度项为： (3)x-y平面外的运动最小，即C1:-F
图1 加载力、力矩和铰链的变形示意图 Fig．1 Relation among the deformationforce and moment u ip 1 u op 1 ＝ C ip 1 0 0 C op 1 F ip 1 F op 1 （2） 其中 u ip 1＝（ u1xu1yθ1z ） T （3） u op 1 ＝（ u1zθ1y） T （4） F ip 1＝（F1xF1yM1z ） T （5） F op 1 ＝（F1zM1y） T （6） 则 x—y 平面内和 x—y 平面外的柔度矩阵分别为： C ip 1＝ C1x— Fx 0 0 0 C1y— Fy C1y— Mz 0 C1θz — Fy C1θz — Mz （7） C op 1 ＝ C1z — Fz C1z — My C1θy— Fz C1θy— My （8） 式中C1y— Mz ＝ C1θz — FyC1z — My＝ C1θy— Fz；C1x— Fx表 示力Fx 作用下所引起的 x 方向的位移C1y— Mz表示 力矩 Mz 作用下引起的 y 方向的位移变化量 C1θz — Mz表示力矩 Mz 作用下引起的 z 方向的转角 其余类推［3］；u1x表示沿 x 方向的位移u1y表示沿 y 方向的位移θ1z表示绕 z 轴的转角其余类推． 平面内的各柔度项为： C1x— Fx＝ 1 Ew∫ l 0 1 t（ x） d x （9） C1y— Fy＝ 12 Ew∫ l 0 x 2 t（ x） 3d x （10） C1y— Mz＝ 12 Ew∫ l 0 x t（ x） 3d x （11） C1θz — Mz＝ 12 Ew∫ l 0 1 t（ x） 3d x （12） 平面外的各柔度项为： C1z — Fz＝ 12 Ew 3∫ l 0 x 2 t（ x） d x （13） C1z — My＝ 12 Ew 3∫ l 0 x t（ x） d x （14） C1θy— My＝ 12 w 2C1x— Fx （15） 式中E 为材料的弹性模量t （ x ）为厚度w 为宽 度l 为长度．将平面内和平面外的各柔度项代入 式（7）和（8）即可得到表示转动能力和转动精度的 各种轮廓形式柔性铰链的柔度矩阵［8—9］． 2 柔性铰链的多目标优化建模 2∙1 设计变量 柔性铰链的材料和几何结构是决定柔性铰链性 能的关键因素．本文假设柔性铰链的材料已经确 定即弹性模量 E 和密度ρ已知对其结构参数进 行优化设计．直圆型柔性铰链结构参数如图2所 示r、t 和 w 分别表示柔性铰链的半径、最小厚度 与宽度铰链的长度为 l（ l＝2r）．确定直圆型柔性 铰链的设计变量为 X＝［ x1x2x3］＝（ rtw）． 图2 直圆型柔性铰链 Fig．2 Circular flexure hinge 2∙2 多目标优化函数 在外载荷作用下直圆型柔性铰链所产生的运 动包括绕 z 轴的转动、沿 x 轴的位移、沿 y 轴的位 移以及 x—y 平面外的运动．沿 x 轴的位移、x—y 平面外的运动都是附加运动越小表示其转动精度 越好；绕 z 轴的转动是所需要的运动越大表示其 转动能力越好．根据前面的分析可知柔性铰链所 产生的绕 z 轴的转动、沿 x 的位移、沿 y 轴的位移 以及 x—y 平面外的运动与柔度矩阵有关［10］．因此 确定优化设计的目标函数为： （1） 绕 z 轴的转动能力最强即 C1θz — Mz 和 C1θz — Fy最大； （2） 沿 x 轴的位移最小即 C1x— Fx最小； （3） x — y 平面 外 的 运 动 最 小即 C1z — Fz、 ·190· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第2期 邱丽芳等：柔性铰链运动性能多目标优化设计 191 C1:-M,、C10-M,和C10,-F最小. 0.008≥g1(X)=x1≥0.003 根据多目标优化设计统一目标函数法，由(1)、 0.0009≥g2(X)=x2≥0.0005 (2)和(3)建立新的统一目标函数，即： 0.015≥g3(X)=x3≥0.007 min F(X)= 94(X)= C1x-F十C1:-F十C:-M,十C10-M,十C10-E 735×10°x3x2 一120 C10-M.+C10-5, 2.7x2十5.4x1 1×2x1+0.5 +0.325 1+6 8x1十x2 (16) 2.3边界条件 式中，x(=1,2,3)是设计变量 边界条件可用下面的约束函数表示： 3优化结果分析 lminlmax 优化前的参数尺寸根据经验初选确定，其尺寸 tminttma (17) 如表1所示. IminImax 表1直圆型柔性铰链优化前后主要参数 、Umink4, 3.0×10-9
C1z — My、C1θy— My和 C1θy— Fz最小． 根据多目标优化设计统一目标函数法由（1）、 （2）和（3）建立新的统一目标函数即： min F（ X）＝ C1x— Fx＋C1z — Fz＋C1z — My＋C1θy— My＋C1θy— Fz C1θz — Mz＋C1θz — Fy （16） 2∙3 边界条件 边界条件可用下面的约束函数表示： lmin＜ l＜ lmax tmin＜t＜tmax rmin＜ r＜ rmax w min＜ w＜ w max （17） 2∙4 性能约束 铰链在受到力和力矩的作用下产生弯曲变形 危险点为最小截面（ x＝ l／2）边缘上的点．由材料力 学可得该点的最大轴向应力 σa 为 σa＝ cFx／A．其 中A 为最小截面的面积A ＝ tw；c 为应力集中系 数c＝ 2∙7t＋5∙4r 8r＋t ＋0∙325． 由于铰链受到弯矩的作用由材料力学可得出 其作用的危险点同样为最小截面边缘上的某一点 其中一侧受到拉应力一侧受到压应力．危险点处 的弯曲正应力为 σb＝ M／Io．其中M 为该点处的 弯矩M＝ M（ z ）＝ Mz ＋Fyl；Io 为横截面对中心轴 的惯性矩Io＝ wt 3／12． 所以得到最大正应力为： σbmax＝c 6（ Mz＋Fyl） wt 2 ． 柔性铰链所受的最大应力为： σmax＝σa＋σbmax＝ c wt Fx＋ 6（ Mz＋Fyl） t （18） 式（18）即是柔性铰链的强度条件． 确定优化设计的性能约束条件为： ［σ］ σmax —1≥0 （19） 式中［σ］为材料的许用应力． 根据上述优化模型选取合金钢作为柔性铰链 的材料其弹性模量 E＝2∙1×1011 N·m —2许用应 力［σ］ ＝735MPa．假设铰链所受的力和力矩为： Fx＝0∙1NFy＝1NMz ＝0∙5N·mFz ＝0∙1N My＝0∙1N·m．因为 l＝2r各参数上下界的值根 据实际情况和经验值来确定则直圆型柔性铰链的 约束条件 gi（X）（ i ＝1234）为： 0∙008≥g1（X）＝ x1≥0∙003 0∙0009≥g2（X）＝ x2≥0∙0005 0∙015≥g3（X）＝ x3≥0∙007 g4（X）＝ 735×10 6x3x2 2∙7x2＋5∙4x1 8x1＋ x2 ＋0∙325 1＋6 1×2x1＋0∙5 x2 —1≥0 式中xi（ i＝123）是设计变量． 3 优化结果分析 优化前的参数尺寸根据经验初选确定其尺寸 如表1所示． 表1 直圆型柔性铰链优化前后主要参数 Table1 Design variables of a circular flexure hinge before and after optimization 状态 r／mm t／mm w／mm 优化前 5∙0 0∙8 9 优化后 6∙5 0∙7 11 为了便于比较把力矩 Mz 转换为等效的力把 由力矩所引起的转角等效为位移．本例中 Mz＝0∙5 N·m转换为施加于铰链右端的力 F ∗ y l＝2r＝2× 0∙005＝0∙01m所以 F ∗ y ＝ Mz l ＝ 0∙5 0∙01 ＝50N．由 Mz 所引起的转角θz 转换为等效的位移 uyuy ＝ θz l则用 Matlab 绘制的直圆型柔性铰链优化前、后 的性能曲线如图3～5所示．图3为 Fy 与 Mz 转换 的等效力 F ∗ y 合力∑ Fy 与其所产生的位移的关系 曲线（∑Fy＝Fy＋F ∗ y ）；图4为 Fx 与其所产生的沿 x 轴方向的位移的关系曲线；图5为 Fz 与 My 转换 的等效力合力∑ Fz 与其所产生的相对应的沿 z 轴 方向的位移的关系曲线． 由图3可知优化后的位移远大于优化前的位 移转动能力得到提高． 沿 z 轴与 x 轴方向的运动是不需要的越小越 好．由图5可知优化后的位移小于优化前的位移． 由图4可知优化后的位移虽然大于优化前的 位移但其增加量远远小于图3的增加量．为了便 于比较定义优化后的位移减去优化前的位移除以 优化前的位移为柔性铰链的性能优化比用 k 表 示k 越大表示其相应性能值增加越大．图3中 k3＝ 2∙5×10—4—1∙49×10—4 1∙49×10—4 ＝0∙678图4中 k4＝ 3∙2×10—9—3∙0×10—9 3∙0×10—9 ＝0∙067可以看出 k3≫k4 第2期 邱丽芳等： 柔性铰链运动性能多目标优化设计 ·191·
,192 北京科技大学学报 第30卷 3.0 型柔性铰链优化为设计实例，进行了多目标优化 一优化前曲线 设计. 2.5 年优化后曲线 (2)对直圆型柔性铰链优化结果进行了分析 20 结果表明，当施加一确定力时，优化后柔性铰链的运 动性能比优化前的性能有了明显提高，达到了改善 柔性铰链的运动性能的目的：绕z轴的转动能力增 1.0 大，沿z轴方向的运动能力减小，沿轴方向的运动 0.5 能力只略有增大 10 2030 40 50 参考文献 EF/N [1]Huang J Y.Wei Y D.Zhang W.Optimal design of the flexure 图3∑F,与u,的关系 hinge parameter based on space micro-displacement worktable. Mech Electr Eng Mag.2006.23(1):55 Fig.3 Relationship between >Fy and uy (黄金永，魏燕定，张炜.空间微动平台的柔性铰链参数优化设 计.机电工程，2006,23(1)：55) 3.5 [2]Lobontiu N.Design of symmetric conic-section flexure hinges 3.0 一优化前曲线 based on closed form compliance equations.Mech Mach Theory. +优化后曲线 2002,37(5):477 日2.5 [3]Lobontiu N.Paine JS N.O'Malley E.et al.Parabolie and hyper 2.0 bolic flexure hinges:flexibility.motion precision and stress char- 15 acterization based on compliance closed form equations.Precis Eng,2002,26(2):183 1.0- [4]Zhou WW.He G P.Optimizing flexure hinges of a planar full 0.5 compliant parallel mechanism.J North China Univ Technol Bei- jing,2007,19(1).20 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (周文闻，何广平，平面全柔性并联机构柔性铰链的优化分析 F/N 北方工业大学学报，2007,19(1)：20) [5]Chen S J.Yang Y H.Shun X Z.et al.Optimal design and capa- 图4F,与u:的关系 bility analysis of micro-displacement worktable base on flexure Fig.4 Relationship between F,and us hinge.JMach Des.2004.21(7):46 (陈时锦，杨元华，孙西艺，等.基于柔性铰链的微位移工作台 12 性能分析与优化设计.机械设计，2004,21(7)：46) [6]Yu JJ.Zhou Q.BiSS.et al.Optimal design of a fully compliant 1.0 一优化前曲线 mechanism based on its dynamic characteristics.Chin J Mech 0.8 +优化后曲线 Eng,2003,39(8):32 (于靖军，周强，毕树生，等.基于动力学性能的全柔性机构优 0.6 化设计，机械工程学报，2003,39(8)：32) [7]Lobontiu N.Analytical model of displacement amplification and 0.4 stiffness optimization for a class of flexure-based compliant mecha 02 nisms.Comput Struct.2003.81(32):2797 [8]Lobontiu N.Compliant Mechanisms:Design of Flexure Hinges.USA:CRC Press LLC.2003:60 10 EF/N [9]MinlK S.Choi W C.Song S H.et al.Static and dynamic analysis of a nanopositioning flexure-hinge stage with a flexible lever mech- 图5F.与u的关系 anism.Proc Inst Mech Eng Part B J Eng Manuf.2005.219. Fig.5 Relationship between >F:and u 447 [10]Zuo K T.Zhao Y D.Zhong Y F,et al.Computer-aided design 因此达到了优化的目的， of compliant micro"mechanism with multi-objective topology op- timization.J Comput Aid Des Comput Graphics.2006,18 4结论 (6):854 (左孔天，赵雨东，钟毅芳，等.微型柔性机构的多目标计算机 (1)以提高柔性铰链的转动性能为目标，建立 辅助拓扑优化设计，计算机辅助设计与图形学学报，2006， 了柔性铰链多目标优化设计的数学模型，并以直圆 18(6):854)
图3 ∑Fy 与 uy 的关系 Fig．3 Relationship between ∑Fy and uy 图4 Fx 与 ux 的关系 Fig．4 Relationship between Fx and ux 图5 ∑Fz 与 uz 的关系 Fig．5 Relationship between ∑Fz and uz 因此达到了优化的目的． 4 结论 （1） 以提高柔性铰链的转动性能为目标建立 了柔性铰链多目标优化设计的数学模型并以直圆 型柔性铰链优化为设计实例进行了多目标优化 设计． （2） 对直圆型柔性铰链优化结果进行了分析． 结果表明当施加一确定力时优化后柔性铰链的运 动性能比优化前的性能有了明显提高达到了改善 柔性铰链的运动性能的目的：绕 z 轴的转动能力增 大沿 z 轴方向的运动能力减小沿轴方向的运动 能力只略有增大． 参 考 文 献 ［1］ Huang J YWei Y DZhang W．Optimal design of the flexure hinge parameter based on space micro-displacement worktable． Mech Electr Eng Mag200623（1）：55 （黄金永魏燕定张炜．空间微动平台的柔性铰链参数优化设 计．机电工程200623（1）：55） ［2］ Lobontiu N．Design of symmetric conic-section flexure hinges based on closed-form compliance equations．Mech Mach Theory 200237（5）：477 ［3］ Lobontiu NPaine J S NO’Malley Eet al．Parabolic and hyperbolic flexure hinges：flexibilitymotion precision and stress characterization based on compliance closed-form equations． Precis Eng200226（2）：183 ［4］ Zhou W WHe G P．Optimizing flexure hinges of a planar full compliant parallel mechanism．J North China Univ Technol Beijing200719（1）：20 （周文闻何广平．平面全柔性并联机构柔性铰链的优化分析． 北方工业大学学报200719（1）：20） ［5］ Chen S JYang Y HShun X Zet al．Optimal design and capability analysis of micro-displacement worktable base on flexure hinge．J Mach Des200421（7）：46 （陈时锦杨元华孙西芝等．基于柔性铰链的微位移工作台 性能分析与优化设计．机械设计200421（7）：46） ［6］ Yu J JZhou QBi S Set al．Optimal design of a fully compliant mechanism based on its dynamic characteristics． Chin J Mech Eng200339（8）：32 （于靖军周强毕树生等．基于动力学性能的全柔性机构优 化设计．机械工程学报200339（8）：32） ［7］ Lobontiu N．Analytical model of displacement amplification and stiffness optimization for a class of flexure-based compliant mechanisms．Comput Struct200381（32）：2797 ［8］ Lobontiu N． Compliant Mechanisms： Design of Flexure Hinges．USA：CRC Press LLC2003：60 ［9］ Min1K SChoi W CSong S Het al．Static and dynamic analysis of a nanopositioning flexure-hinge stage with a flexible lever mechanism．Proc Inst Mech Eng Part B J Eng Manuf2005219： 447 ［10］ Zuo K TZhao Y DZhong Y Fet al．Computer-aided design of compliant micro-mechanism with mult-i objective topology optimization． J Comput Aid Des Comput Graphics200618 （6）：854 （左孔天赵雨东钟毅芳等．微型柔性机构的多目标计算机 辅助拓扑优化设计．计算机辅助设计与图形学学报2006 18（6）：854） ·192· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷